Función de dos variables

Tomado de:https://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

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En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.

Ejemplo ilustrativo 1

La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que

 

z=(25- x^2 -y^2)^(1/2)

Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

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Ejemplo 2: dibuje la grafica de la función

Sol/: la grafica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x^2 +y^2 . La traza de la superficie en el plano x,y se obtiene al utilizar la ecuación z=0 simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x^2 +y^2=0 la cual representa el origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones z=x^2 +y^2. Estos trazos son las parábolas z= x^2 y z= y^2.

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Funciones de varias variables

El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad

V del móvil en ese punto y en ese instante:

f(x; y; z; t) = v

Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada. Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:

Función Nombre

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En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se conserva.

Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la función es un

numero o es un vector.

Ejemplo: la función g esta definida por

g (x, y, z) = x^2+y^2-z

entonces el paraboloide circular z= x^2+y^2, mostrado en la figura, es la superficie de nivel de g en 0. La superficie de nivel de g en el numero k tiene la ecuación z + k = x^2 + y^2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z. en al figura muestra las superficies de nivel para k igual a -4,-2, 0, 2 y 4

 

 

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Ejemplo: Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura (en grados centígrados) de la placa es función de las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada por:

T(x, y) = 500 - 0,6x^2 - 1,5y^2

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Representación grafica de la función T(x, y)

Método para hallar el dominio

Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer este despeje podemos considerar tres casos:

    • i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo.R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.

    • ii. Despejar(y)

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      ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?

      R/

  • Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al despejar (y).R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el dominio de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).

    Método para hallar el Rango

    Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.

    • Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real representa? ¿Por qué?

    R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y diferentes.

    Hallar el dominio.

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    Vemos que la (x) hace parte de un radical par

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    Solucionamos una desigualdad cuadrática

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    Hallar el rango.R:Monografias.com

    La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto: 

  •  

    Curvas de nivel

    Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.

    Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano

    x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.

    Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.

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    Ejemplo 1. Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))

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    Sea g(x, y) = vxy la media geométrica de los números x e y. La curva de nivel 4 está formada por todos los pares de ordenados (x, y), la media geométrica de los cuales es 4.

    Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel. A continuación mostramos la gráfica de vxy y sus curvas de nivel en el plano xy.

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    Consideramos ahora la función f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4 está formada por

    todos los pares (x, y) que cumplen:

    f (x, y) = x2 + y2 = 4.

    Puede que algunos de vosotros hayáis visto antes que la ecuación describe la circunferencia de radio 2(2 =v4) centrada en el origen de coordenadas.

    A continuación mostramos la gráfica de x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel de la función.

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    Así pues, podemos resumir:

    Dada una función f con dominio en R2 y un número cualquiera c, la curva de nivel c de la función f está formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2) = c.

    Bibliografía

 

Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima también a otro número. En una función de dos variables del tipo y = f(x), cuando x se aproxima al valor de a, la función se acerca al valor L que corresponde al límite.La notación es así:

 

Cuando x tiende al valor de c, la funcion f tiende al valor de L. Algunos limites son obvios y corresponden al mismo valor de c evaluado en la función. Sin embargo, los límites no se usan en casos obvios sino en funciones más complejas donde el valor de una función puede ser desconocido o inaccesible. No se ahondará demasiado en este asunto.
En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f tiende a un valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a los que se aproximan todas las variables independientes que componen a la función. 
Por ejemplo, la función anterior es una función cualquiera de dos variables. En este caso, es el límite de dicha función cuando tanto x como y (variables independientes) tienden a 0. El valor de las tendencias pueden cambiar, pero es necesario considerar a ambas variables. 
Al igual que funciones de una variables independiente, los límites pueden existir o pueden no existir. En caso de que existan, puede ser que el procedimiento para encontrar el valor del límite no sea tan directo. Esto quiere decir, que al evaluar directamente los valores de las variables en la función, podría haber una indefinición matemática como 0/0. En tal situación, un procedimiento algebraico para simplificar la función podría ser suficiente, pero si aun así el resultado se indefine o la función es irreducible, se necesita un procedimiento especial.
Se tiene el límite de la función: 

En este ejemplo, el límite se obtiene directamente por evaluación

El siguiente límite es un poco más complejo:
En este caso ocurre la típica indefinición de un límite, cuando el resultado aparentemente es 0/0. Basta con un procedimiento algebráico para reducir un poco la función:
Finalmente el límite es 0. 
 
Existen otras funciones cuyos límites directos se indefinen y que además no pueden resolverse por ningún método de simplicación. Para ello se debe analizar distinto. 
 

Para las funciones de dos variables, x se podía aproximar a un valor acercándose tomando valores menores (por la izquierda) o tomando valores mayores (por la derecha). Solo existen dos posibilidades. En funciones de varias variables ocurre lo mismo, sin embargo el acercamiento ocurre hacia un punto ( x , y ), y al ubicarlo en el espacio, el acercamiento puede hacerse desde una cantidad infinita de direcciones y no solo eso, sino de trayectorias. Por ejemplo, al punto (0,0) se le puede aproximar por la trayectoria de la función y = x^2, por izquierda y por derecha, así como por la trayectoria de la función z = x o z = y. El objetivo es aprovechar todo lo anterior para encontrar un límite que pareciera que no puede ser resuelto. Por ejemplo:

 

 

Esta límite se indefine inmediatamente al evaluar directamente. Así mismo, la función no puede simplificarse más. Pero este no es el fin del camino. El primer paso es elegir una trayectoria por la cual acercarse al puntos (0,0). Por ejemplo la función y = 0 (por el eje x). Al sustituir en la función, queda un límite de una sola variable

 

 

El límite existe. Ahora elegir alguna otra trayectoria. Por ejemplo, x = 0 (acercándose por el eje y). Sustituir en el límite original:

 

El resultado fue el mismo. Basta con encontrar dos resultados iguales con dos trayectorias distintas para afirmar que el límite existe. De no ser iguales, el límite no existiría. 
Continuidad
 
Se dice que una función es continua cuando puede dibujarse su gráfica sin separar el lápiz de la superficie sobre la que se dibuja. Pero esta definición es muy vaga por sí sola. Matemáticamente, para una función de dos variables, una función es continua en un valor de x = a si se cumplen las siguientes condiciones:
 
  1. El límite cuando x tiende al valor de a existe. 
  2. La función evaluada en a existe. 
  3. El límite cuando x tiende al valor de a y la función evaluada en a son iguales. 
Pues resulta que en funciones de varias variables, la definición de continuidad es igual, pero aplica no para un valor de una sola variable, sino para un punto P( x, y ) sobre el cual quiera evaluarse la continuidad. Solo es necesario encontrar el límite, evaluar la función en el mismo punto y comparar valores. 

 

 

 

Aplicativo para el calculo de funciones en varias variables:

 

https://es.symbolab.com/solver/multi-var-limit-calculator