TOMADO DE:

http://www.ck12.org/book/CK-12-Geometra-Edicin-Espaola/section/5.6/

Objetivos de aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Determinar las relaciones entre ángulos y lados de un triángulo.
  • Aplicar el teorema de la desigualdad en triángulos para resolver problemas.

Introducción

En esta lección, examinaremos las diversas relaciones que existen entre las medidas de los ángulos y de las longitudes de los triángulos. Haremos esto mediante el establecimiento de algunos teoremas clave que nos permitirán determinar los tipos de relaciones que son válidas para cada situación particular.

Observa los dos triángulos siguientes:

Podemos observar que el primer triángulo es isósceles, mientras que, en el segundo triángulo, DE¯¯¯¯¯¯¯¯ es de mayor longitud que AB¯¯¯¯¯¯¯¯. ¿Cómo se relacionan los valores de los ángulos C y F con las longitudes de AB¯¯¯¯¯¯¯¯ y DE¯¯¯¯¯¯¯¯? . Resulta que (y, de hecho es el caso) que el valor de la medida del ángulo en el vértice F es mayor que ∠C.

En esta sección, probaremos formalmente los teoremas que establecen cuándo son válidas tales relaciones. Comenzaremos con el siguiente teorema.

Relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo

Teorema: Si dos lados de un triángulo son de longitudes desiguales, entonces los ángulos opuestos a dichos ángulos son, a su vez, desiguales. El lado más grande corresponderá al ángulo más grande opuesto a él.

Prueba. Considera △ABC with AB>AC. Debemos demostrar que m∠ACB>m∠ABC.

1. Por el postulado de la regla, existe un punto X sobreAB¯¯¯¯¯¯¯¯ tal que AX=AC. Así, traza CX¯¯¯¯¯¯¯¯ y rotula los ángulos math>1</math>, 2 y 3 como sigue.

2. Puesto que △AXC es isósceles, tenemos que m∠3=m∠2.

3. Por adición de ángulos, tenemos que m∠ACB=m∠1+m∠2.

4. Entonces, m∠ACB>m∠2 y, por sustitucion, tenemos que m∠ACB>m∠3.

5. Nota que ∠3 es exterior al △XBC, por lo que m∠3>m∠ABC.

6. Por tanto, m∠ACB>m∠3 y m∠3>m∠ABC. Por tanto, concluimos que m∠ACB>m∠ABC. ⧫

También podemos probar un teorema similar sobre ángulos.

Al mayor ángulo le corresponde el mayor lado opuesto: Si un ánglo de un triángulo tiene una medida mayor que un segundo ángulo, entonces el lado opuesto al primer ángulo es mayor que el lado opuesto al segundo ángulo.

Prueba. Con el fin de probar el teorema, usaremos un método que se basa en el razonamiento indirecto, un método que estudiaremos con más detalle. El método se basa en la asunción de un nuevo' teorema cuyos postulados se basan en el hecho de que la conclusión del teorema original es incorrecta. Luego, deberemos alcanzar una conclusión que lógicamente contradiga los postulados del teorema original.

1. Considera △ABC con m∠ABC>m∠ACB. Debemos demostrar que AC>AB.

2. Asume temporalmente que AC no es mayor que AB. Entonces, se cumpliría que AC=AB , o bien, queAC<AB.

3. Si AC=AB , entonces los ángulos en los vértices B yC son congruentes. Esta es una contradicción con respecto a los postulados dados por el teorema original.

4. Si AC<AB, entonces m∠ABC<m∠ACB por el hecho de que el lado más grande es opuesto al ángulo más grande (el teorema que justo acabamos de probar). Pero esto también contradice los postulados dados por el teorema original. Por lo tanto, debemos tener que AC>AB. ⧫

Con estos teoremas podemos probar, ahora, un corolario interesante.

Corolario El segmento que une perpendicularmente un punto con una recta es el segmento más corto que va de dicho punto a la recta.

Prueba. La prueba es rutinaria, luego de que hemos probado los resultados más importantes.

Considera el punto P, la línea recta l y el segmento rectilíneo perpendicular que va de P hastal, como sigue.

Podemos dibujar el segmento desde P hasta cualquier punto sobre la línea recta l, para tener el caso de un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura:

Dado que el triángulo es rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto (la hipotenusa) tendrá siempre una longitud mayor que la longitud del segmento perpendicular que va de P hastal, la cual es opuesta a un ángulo que siempre es menor que 90∘. ⧫

Ahora, estamos listos para probar uno de los hechos más útiles en geometría: el teorema de la desigualdad en un triángulo.

Teorema de la desigualdad triangular: La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

'Prueba. Considera △ABC. Debemos demostrar lo siguiente:

  1. AB+BC>AC
  2. AC+BC>AB
  3. AB+AC>BC

Supón que AC¯¯¯¯¯¯¯¯ es el lado más grande. Las desigualdades 2 y 3 de arriba son verdaderas.

Con el fin de probar 1, AB+BC>AC, traza la perpendicular que va desde el punto B hasta X, en el lado opuesto, tal como sigue:

Ahora tenemos dos triángulos rectángulos y podemos expresar gráficamente las siguientes conclusiones:

Puesto que el segmento perpendicular es la trayectoria más corta entre un punto y una línea recta (o segmento rectilíneo), tenemos que AX¯¯¯¯¯¯¯¯ es el segmento más corto que va dese A hasta XB¯¯¯¯¯¯¯¯. También, CX¯¯¯¯¯¯¯¯ es el segmento más corto que va desde C hasta XB¯¯¯¯¯¯¯¯. Por lo tanto, AB>AX yBC>CX. Luego, por adición, tenemos:

 

AB+BC>AX+XC=AC.

 

Así, AB+BC>AC. ⧫

Ejemplo 1

¿Puede tenerse un triángulo cuyos lados tengan longitudes 4,5,10?

Podemos responder esta pregunta aun sin contar con una representación gráfica de la situación planteada—es una situación imposible. No podemos tener tal triángulo. De acuerdo al teorema de la desigualdad triangular, debemos tener que la suma de las longitudes de cualquier par de lados del triángulo debe ser mayor que la longitud del tercer lado. En este caso, notamos que 4+5=9<10.

Ejemplo 2

Encuentra el ángulo más pequeño que pertenece al siguiente triángulo.

∠B es el ángulo más pequeño. Dado que el triángulo es un triángulo rectángulo, podemos encontrar que x=6 haciendo uso del teorema de Pitágoras (el cual probaremos después).

Por el hecho de que el mayor de los lados es opuesto al mayor ángulo, podemos concluir que m∠B<m∠A<∠C.

Resumen de la lección

En esta lección:

  • Establecimos y probamos teoremas que nos ayudan a determinar relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo.
  • Introdujimos el método de prueba indirecta.
  • Aplicamos el teorema de la desigualdad triangular para resolver problemas.

Puntos a considerar

El conocimiento de estos teoremas y las relaciones entre los ángulos y lados de los triángulos se aplicarán cuando utilicemos la trigonometría. Puesto que el tamaño del ángulo afecta la longitud del lado opuesto correspondiente, podemos mostrar que existen ángulos específicos asociados con ciertas relaciones (razones) entre lados de un triángulo rectángulo, y viceversa.

Ejercicios de repaso

  1. Identifica y nombra el mayor el menor ángulo de cada uno de los siguientes triángulos:
  2. Name the longest side and the shortest side of the triangles.
  3. ¿Es posible tener triángulos que posean las siguientes longitudes? Razona tu respuesta.
    1. 6,13,6
    2. 8,9,10
    3. 7,18,11
    4. 3,4,5
  4. Dos lados de un triángulo poseen las siguientes longitudes: 18 and 24. ¿Qué puedes concluir acerca de la longitu, del tercer lado?
  5. La base de un triángulo isósceles tiene longitud 30. ¿Qué puedes decir acerca de la longitud de cada cateto?

En los ejercicios 6 y 7, encuentra el ángulo numerado más pequeño del triángulo.

En los ejercicios 8-9, encuentra el mayor segmento en el diagrama.

Dado que: m∠Y>m∠X,m∠S>m∠R

Prueba que: XR>YS

Dado que: XO¯¯¯¯¯¯¯¯≅OY¯¯¯¯¯¯¯¯≅YZ¯¯¯¯¯¯¯

Prueba que: XY>ZY

Respuestas a los ejercicios de repaso

    1. ∠R es el ángulo mayor y ∠S es el ángulo menor.
    2. ∠C es el ángulo mayor y ∠A es el ángulo menor.
    1. AC¯¯¯¯¯¯¯¯ es el ángulo mayor y AB¯¯¯¯¯¯¯¯ es el ángulo menor.
    2. BC¯¯¯¯¯¯¯¯ es el ángulo mayor y AB¯¯¯¯¯¯¯¯ es el ángulo menor.
    1. No, 6+6=12<13.
    2. Sí
    3. No, 7+11=18.
    4. Sí
  2. El tercer lado debe tener una longitud x tal que 6<x<42.
  3. Los catetos deben tener una longitud mayor que 15.
  4. ∠2
  5. ∠1
  6. DF¯¯¯¯¯¯¯¯
  7. XY¯¯¯¯¯¯¯¯
  8. Puesto que el ángulo opuesto a cada uno de los dos segmentos que comprenden a XR¯¯¯¯¯¯¯¯ es mayor que el ángulo opuesto a los segmentos correspondientes a XS¯¯¯¯¯¯¯¯,concluimosqueXR>RS .