Valores y vectores propios(tomado de :http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/numerico/propios/propios.html)

Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de λ tales que.

$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \mathrm{...}{a}_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \mathrm{...}{a}_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{\mathrm{nn}}-\lambda \end{array}\right|=0$

Desarrollando el determinante tenemos un polinomio de grado n en λ. Trataremos de encontrar los coeficientes del polinomio y luego, aplicaremos un método de hallar las raíces del polinomio.

Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X correspondiente al valor propio λ es necesario resolver el sistema homogéneo

$AX=\lambda X$

donde el vector X es  $X=\left\{x_1,x_{\mathrm{2,}}\mathrm{...}{x}_n\right\}$ Siempre podemos tomar x₁ como 1, y hallar las otras n-1 incógnitas. De las n ecuaciones podemos tomar n-1, y resolver el sistema lineal.

$\begin{array}{c}(a_{22}-\lambda )x_2+a_{23}{x}_3+\mathrm{....}+a_{2n}{x}_n=-a_{21}\\ a_{32}{x}_2+(a_{33}-\lambda )x_3+\mathrm{....}+a_{3n}{x}_n=-a_{31}\\ \mathrm{...............................................}\\ a_{n2}{x}_2+a_{n3}{x}_3+\mathrm{....}+(a_{nn}-\lambda )x_n=-a_{n1}\end{array}$

El polinomio característico

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n. El polinomio característico de la matriz es

$p\left(\lambda \right)={\lambda }^n+p_1{\lambda }^{n-1}+p_2{\lambda }^{n-2}+\mathrm{...}{p}_{n-1}\lambda +p_n$

Los coeficientes se hallan mediante las siguientes relaciones:

$\begin{array}{c}{p}_1=-s_1\\ p_2=-\frac{1}{2}(s_2+p_1{s}_1)\\ \mathrm{..........................}\\ p_n=-\frac{1}{n}(s_n+p_1{s}_{n-1}+\mathrm{....}+p_{n-1}{s}_1)\end{array}\}$ (1)

Los valores s₁, s₂, ... s_n son las trazas de las potencias de la matriz cuadrada A.

$\begin{array}{c}{s}_1=\text{traza}A\\ s_2=\text{traza}{A}^2\\ \mathrm{....................}\\ s_n=\text{traza}{A}^n\end{array}\}\text{traza}A=\sum _{i=1}^{i\le n}{a}_{ii}$

La aplicación de este método no reviste dificultad, se calculan:

• Las potencias de la matriz A y la traza de cada una de ellas,
• Los coeficientes p_i del polinomio característico
• Los valores propios o las raíces del polinomio 
• Conocidos los valores propios se calculan los vectores propios

Hallar el polinomio característico de la matriz

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 2& 3\\ 3& 2& 1& 2\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right)$

El desarrollo del determinante secular mediante el método de Leverrier conduce a la ecuación

${\lambda }^4-4{\lambda }^3-40{\lambda }^2-56\lambda -20=0$

Conocidos los coeficientes del polinomio característico, se determinan las raíces por algún procedimiento numérico.

Vectores propios

Conocidos los valores propios de una matriz simétrica A, se pueden calcular el vector propio X correspondiente a cada valor propio λ.

AX=λX

mediante el siguiente procedimiento. Supongamos una matriz simétrica A de dimensión 4.

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}-\lambda & a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}-\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=0\end{array}$

Conocido el valor propio λ, tenemos un sistema de ecuaciones homogéneo de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Le damos a x₁ el valor arbitrario de 1 y lo convertimos en el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_{21}{x}_1+(a_{22}-\lambda )x_2+a_{23}{x}_3+a_{24}{x}_4=0\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+(a_{33}-\lambda )x_3+a_{34}{x}_4=0\\ a_{41}{x}_1+a_{42}{x}_2+a_{43}{x}_3+(a_{44}-\lambda )x_4=0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}(a_{22}-\lambda )x_2+a_{23}{x}_3+a_{24}{x}_4=-a_{21}{x}_1\\ a_{32}{x}_2+(a_{33}-\lambda )x_3+a_{34}{x}_4=-a_{31}{x}_1\\ a_{42}{x}_2+a_{43}{x}_3+(a_{44}-\lambda )x_4=-a_{41}{x}_1\end{array}\\ \left[\begin{array}{ccc}(a_{22}-\lambda )& a_{23}& a_{24}\\ a_{32}& (a_{33}-\lambda )& a_{34}\\ a_{42}& a_{43}& (a_{44}-\lambda )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-a_{21}{x}_1\\ -a_{31}{x}_1\\ -a_{41}{x}_1\end{array}\right]\end{array}$

 

• Calcula los valores propios

1. Calcula las potencias de la matriz A y sus trazas guardándolas en el vector s.

2. Calcula n coeficientes del polinomio característico de acuerdo con las fórmulas (1) y los guarda en el vector p. Se ha de tener en cuenta que el coeficiente que falta es el de mayor grado y vale 1. El vector de los coeficientes del polinomio característico es el vector ampliado [1 p] cuyo primer término es 1 y a continuación el resto de los coeficienetes calculados.

3. Calcula las raíces del polinomio, que son los valores propios 

4. Creamos una matriz D de dimensión n en cuya diagonal principal guardamos los valores propios, D(i,i)=λ_i

• Calcula el vector propio para cada uno de los valores propios.

1. Extraemos de la matriz A la submatriz A(2:n,2:n) y creamos otra matriz B de dimensión n-1. Los elementos de la diagonal de la matiz B, valen B(i,i)=A(i,i)-λ_i

2. Extraemos los elementos 2..n de la primera columna de la matriz A del siguiente modo, A(2:n,1), los cambiamos de signo y los asignamos al vector C de dimensión n-1.

3. Los n-1 elementos del vector popio correspondiente al valor propio λ_i se obtienen resolviendo un sistema de n-1 ecuaciones con n-1 incógnitas, mediante el operador división por la izquierda \ tal como hemos visto en la página Vectores y matrices.

4. El vector propio S correspondiente al valor propio λ_i está formado por la unidad y los n-1 valores que hemos obtenido al resolver el sistema lineal de n-1 ecuaciones con n-1 incógnitas.

5. El vector propio S se normaliza (su módulo es la unidad). Recuérdese que el cuadrado del módulo de un vector es el producto escalar de dicho vector consigo mismo.

6. El vector propio S correspondiente al valor propio λ_i es la columna i de la matriz V. V(1:n,i)=S/norm(S). 

Finalmente podemos comprobar que los resultados son correctos realizando el producto

V×D×V^-1

cuyo resultado es la matriz original A.