Tomado y adaptado de

 https://es.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:complex/x2ec2f6f830c9fb89:complex-num/a/intro-to-complex-numbers

¿Por qué son importantes estos números?

¿Entonces para qué estudiamos números complejos? Créelo o no, los números complejos tienen muchas aplicaciones: en ingeniería eléctrica y en mecánica cuántica, ¡por nombrar solo algunos!
Desde un punto de vista puramente matemático, una cosa interesante que podemos hacer con números complejos es resolver cualquier ecuación polinomial.
Por ejemplo, la ecuación polinomial x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 no tiene soluciones reales ni imaginarias. Sin embargo sí tiene dos soluciones complejas, que son 1, plus, 2, i y 1, minus, 2, i.

 

Mientras continuamos nuestro estudio de las matemáticas, aprenderemos más acerca de estos números y donde se utilizan.

La unidad imaginaria

La columna vertebral de este nuevo sistema de números es la unidad imaginaria, o sea el número i.
Las siguientes propiedades son verdaderas para el número i:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
La segunda propiedad demuestra que el número i sí es una solución de la ecuación x, squared, equals, minus, 1. La ecuación que previamente era insoluble, ¡ahora tiene una solución, al agregar la unidad imaginaria!

Números imaginarios puros

El número i ¡de ninguna manera está sólo! Al utilizar múltiplos de esta unidad imaginaria, podemos crear una infinidad de otros números imaginarios puros.
A saber, 3, i,  i, square root of, 5, end square root, y minus, 12, i, son ejemplos de números imaginarios puros; o sea, números de la forma b, i, donde b es un número real diferente de cero.
Elevar estos números al cuadrado ilustra cómo se relacionan con los números reales. Investiguemos esto al elevar el número 3, i al cuadrado. Las propiedades de exponentes enteros son las mismas, así que podemos elevar 3, i al cuadrado tal como podemos imaginarlo.
(3i)2 =32 i2=9 (-1)=-9
El hecho que left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 
significa que 3, i es una raíz cuadrada de minus, 9.

Simplificar números imaginarios puros

La siguiente tabla muestra ejemplos de números imaginarios puros, en sus formas no simplificadas y simplificadas.
Forma no simplificada Forma simplificada

 

 

square root of, minus, 9, end square root

 

3, i

 

square root of, minus, 5, end square root

i, square root of, 5, end square root

 

minus, square root of, minus, 144, end square root

minus, 12, i
¿Pero cómo simplificamos estos números imaginarios puros?
Veamos más de cerca el primer ejemplo, a ver si podemos razonar la simplificación.
Equivalencia original Razonamiento

\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}

 

 

 

 

 

 

La raíz cuadrada de minus, 9 es un número imaginario. La raíz cuadrada de 9 es 3, así que la raíz cuadrada de 9 negativo es start text, 3, end text unidades imaginarias, o sea 3, i.
La siguiente propiedad explica el "razonamiento" anterior en términos matemáticos.
Para a, is greater than, 0,
 
square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Juntando esto con lo que sabemos sobre la simplificación de radicales, podemos simplificar todos los números imaginarios puros. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Simplifica 
square root of, minus, 18, end square root.

Solución

Observemos primero que √−18 
square root of, minus, 18, end square es un número imaginario, pues es la raíz cuadrada de un número negativo. Así que empecemos por reescribir 
square root of, minus, 18, end square root i, square root of, 18, end squa
Enseguida podemos simplificar square root of, 18, end square root 18 con lo que sabemos sobre la simplificación de radicales.
Nuestro trabajo se muestra a continuación.
Así, tenemos que√−18=3 √2  i
square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root

Es importante tener en cuenta que √(a.b) =√a . √b  solo si a   y   b  no son negativos al mismo tiempo

 

Definir números complejos

Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, donde i es la unidad imaginaria y start color #1fab54, a, end color #1fab54 y start color #11accd, b, end color #11accd son números reales.
\begin{array}{ccc} \Large\greenD a&\Large+&\Large \blueD bi \\ \uparrow&&\uparrow\phantom{i} \\ \text{Parte}&&\text{Parte} \\ \text{real}&&\text{imaginaria} \end{array}
start color #1fab54, a, end color #1fab54 se llama la parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 del número, y start color #11accd, b, end color #11accd se llama la parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #11accd del número.
La siguiente tabla ilustra ejemplos de números complejos, identificando sus partes real e imaginaria. Algunas personas identifican más fácilmente estas partes si el número está escrito en forma estándar.
Número complejo Forma estándar start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i Descripción de las partes
7, i, minus, 2 start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, i La parte real es start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 y la imaginaria es start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, i start color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, i La parte real es start color #1fab54, 4, end color #1fab54 y la imaginaria es start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
9, i start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i La parte real es start color #1fab54, 0, end color #1fab54 y la imaginaria es start color #11accd, 9, end color #11accd
minus, 2 start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i

La parte real es start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 y la imaginaria es 

 

start color #11accd, 0, end color #11accd

 

Clasificar números complejos

Ya sabemos qué es un número real y acabamos de definir qué es un número complejo. Ahora regresemos para dar una definición adecuada de un número imaginario.
Un número imaginario es un número complejo start text, a, plus, b, i, end text en el que start text, a, =, 0, end text.
Similarmente, podemos decir que un número real es un número complejo start text, a, plus, b, i, end text en el que start text, b, =, 0, end text.
A partir de la primera definición, podemos concluir que cualquier número imaginario es también un número complejo. De la segunda definición podemos concluir que cualquier número real es también un número complejo.
Además, puede haber números complejos que no son reales ni imaginarios, como 4, plus, 2, i.
\purpleD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números complejos} \\\\ \begin{array}{lcr} 4+2i&&-3-\sqrt 5 i \end{array} \\\\ \goldD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números reales} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5&-12{,}2&3 \end{array} \end{array}}} \\\\ \maroonD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números imaginarios} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5 i&-12{,}2i&3i \end{array} \end{array}}} \end{array}}}

El plano complejo

 

Aprende qué es el plano complejo, y cómo se utiliza para representar números complejos.

 

La unidad imaginaria, o sea i, es el número que satisface las siguientes propiedades equivalentes:
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, donde i es la unidad imaginaria y start color #1fab54, a, end color #1fab54 y start color #11accd, b, end color #11accd son números reales.
start color #1fab54, a, end color #1fab54 se llama la parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 del número, y start color #11accd, b, end color #11accd se llama la parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #11accd del número.
Tal como utilizamos la recta numérica para visualizar el conjunto de números reales, podemos utilizar el plano complejo para visualizar el conjunto de números complejos.
\small{1}\small{2}\small{3}\small{4}\small{5}\small{6}\small{7}\small{\llap{-}2}\small{\llap{-}3}\small{\llap{-}4}\small{\llap{-}5}\small{\llap{-}6}\small{1}\small{2}\small{3}\small{4}\small{5}\small{6}\small{7}\small{\llap{-}2}\small{\llap{-}3}\small{\llap{-}4}\small{\llap{-}5}\small{\llap{-}6}\small{\llap{-}7}\small\text{Eje imaginario}\small\text{Eje real}
El plano complejo consiste de dos líneas rectas numéricas que se intersecan en un ángulo recto en el punto left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.
La recta numérica horizontal (que conocemos como el eje x en el plano Cartesiano) es el eje real.
La línea recta numérica vertical (el eje y en el plano Cartesiano) es el eje imaginario.
Cada número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo.
Por ejemplo, consideremos el número 3, minus, 5, i. Este número, que también se expresa como start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, tiene una parte real start color #1fab54, 3, end color #1fab54 y una parte imaginaria start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
La ubicación de este número en el plano complejo es el punto que corresponde a start color #1fab54, 3, end color #1fab54 en el eje real y a start color #11accd, minus, 5, end color #11accd en el eje imaginario.
\small{2}\small{4}\small{6}\small{8}\small{\llap{-}4}\small{\llap{-}6}\small{\llap{-}8}\small{2}\small{4}\small{6}\small{8}\small{\llap{-}4}\small{\llap{-}6}\small{\llap{-}8}\text{Eje imaginario}\text{Eje real}3-5i
Así que el número start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i se asocia con el punto left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. En general, el número complejo start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i corresponde al punto left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis en el plano complejo.

Conexiones con la recta numérica real

En la época de Pitágoras, la existencia de números irracionales ¡fue un descubrimiento sorprendente! Se preguntaban cómo podía existir algo como square root of, 2, end square root sin tener una expansión decimal exacta.
Sin embargo, la recta numérica real ayuda a rectificar este dilema. ¿Por qué? Pues porque square root of, 2, end square root tiene una ubicación específica en la recta numérica real. (Si tomas la diagonal del cuadrado unitario y colocas un extremo en 0, el otro extremo coresponde al número square root of, 2, end square root).
Similarmente, todo número complejo de hecho existe, pues ¡corresponde a una ubicación exacta en el plano complejo! Quizá al poder visualizar estos números, podamos entender que llamar "imaginarios" a estos números fue una denominación poco apropiada.
Los números complejos existen y son parte de las matemáticas. La recta numérica real es simplemente el eje real en el plano complejo, pero ¡hay mucho más fuera de esa sola línea!