FACTOREO CON GAUSS / EJERCICIOS RESUELTOS(teorema del factor o division
sintética)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE FACTOREO CON GAUSS
¿Qué dice el Teorema de Gauss?
Que es posible encontrar una raíz de un polinomio entre los divisores de su término independiente, o entre las fracciones que se puedan formar entre los divisores de su término
independiente y de su coeficiente principal (¿qué es el coeficiente principal?) (¿qué fracciones?). En este Caso de Factoreo necesitamos esas
"raíces" del polinomio (¿para qué?), y ahí cobra importancia esto que dice Gauss. Usamos lo que dice "Gauss" para buscar esas raíces
(¿qué son las raíces
de un polinomio?) que nos ayudarán a factorizar el polinomio. No nos hace falta saber o entender lo que son las raíces de un polinomio para poder factorizarlo, podemos
pensar que son ciertos números que vamos a usar para dividir al polinomio por otro de la forma (x - raíz). Por ejemplo, si una posible raíz del polinomio es 2, vamos a dividir al
polinomio por (x - 2). De todas maneras, explicaré también lo que son las raíces (Ver aquí).
¿Qué es eso de los divisores y las fracciones que se forman? ¿Cómo se buscan las raíces del polinomio según Gauss?
Para encontrar raíces, hay que buscar primero los divisores del término independiente del polinomio (¿qué es término
independiente?) y del coeficiente principal (¿pero no era más fácil?). Por ejemplo, en el polinomio:
2x3 -3x2 - 11x + 6, el término independiente es 6, y el coeficiente principal es 2. Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores de 2
(¿qué son los
"divisores"?).
Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. (En general los denomino con la letra "k")
Divisores de 2: 1, -1, 2, -2. (En general los denomino con la letra "a")
Entonces, se pueden "buscar" raíces del polinomio, en todas las fracciones que se puedan armar entre "k" y "a", con la "k" arriba (numerador) y la "a" abajo (denominador). Es
decir:un divisor de 6 arriba, y un divisor de 2 abajo. O un divisor del término independiente arriba, y un divisor del coeficiente principal abajo. Así:
Posibles raíces: 
Esto puede dar un montón de combinaciones, que las voy a mostrar a todas en este ejemplo. Pero muchos resultados se repiten, así que no son tantos. Además, no hace falta que
primero formemos todas las fracciones posibles... Podemos probar de a una, la que se nos ocurra.
Y más fácil todavía: Podemos empezar probando solamente a los divisores del término independiente (¿y por qué puedo
hacer eso?). Lo más probable es que encontremos una o más raíces en esos divisores, y con eso nos alcance para factorizar todo el polinomio, y ya no tengamos que andar
pensando en ninguna fracción. Eso es lo que pasa en casi todos los ejercicios. Yo tengo que explicar la teoría completa, pero la teoría es más complicada de lo que en la práctica
se hace: en el 99% de los ejercicios no necesitaremos acordarnos del coeficiente principal, ni fracciones ni nada. Simplemente trabajamos con los divisores del término
independiente. Y también es muy probable encontrar raíces entre los números más pequeños: 1, -1, 2, -2. Entonces, conviene empezar por ellos y pronto encontraremos la o las raíces
necesarias en pocos pasos.
Pero, ¿por qué puedo usar los divisores del término independiente? Si la teoría dice otra cosa... ¿Por qué puedo obviar al coeficiente principal?:
Porque el 1 es siempre uno de los divisores del coeficiente principal, ya que el 1 es divisor de cualquier número. Y una fracción que tenga un 1 abajo, es igual al número "que
está arriba". A ver, para que se entienda en nuestro ejemplo:
"k" puede ser: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
"a" puede ser: 1, -1, 2, -2
Ahora voy a armar las fracciones con
"a" = 1. Pero si a =1, es igual a
"k": Sin la "a", sin fracción, sin tener en cuenta al coeficiente principal a.
1/1 = 1
-1/1 = -1
2/1 = 2
-2/1 = -2
3/1 = 3
-3/1 = -3
Y así... Todas las "k" pueden ser tomadas como raíces, porque se las puede obtener de la fórmula considerando que "a" es igual a 1. Así, todos los divisores del término independiente pueden ser raíces del
polinomio, y no hace falta pensar en los divisores del coeficiente principal a menos que no se encuentre raíces entre los primeros.
¿Cuáles son los conceptos en que se basa este Caso?
Tal como en el Sexto Caso de Factoreo, en este Caso dividimos
al polinomio por otro que lo divide
exactamente. Y así, por el concepto de
división, podemos decir que nuestro polinomio es igual a DIVISOR X COCIENTE, ya que el resto de la división es igual a 0 (más sobre esto).
POLINOMIO = DIVISOR X COCIENTE
Ahora ¿cómo encontramos un polinomio que divida exactamente al nuestro? Ése es el segundo concepto en que se basa el Caso: Un polinomio puede ser dividido exactamente por otro de
la forma (x - x1), donde "x1" es una raíz de ese polinomio (¿qué es una raíz?).
POLINOMIO = (x - x1). COCIENTE
Luego, para seguir factorizando, buscamos una raíz del cociente para factorizarlo a él. Y si la encontramos, dividimos de la misma forma. Y así nos va quedando:
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).COCIENTE2
Así seguimos hasta que queden todos binomios de grado 1 (no se pueden factorizar), o que no haya más raíces.
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).(x - x3)......ÚLTIMOCOCIENTE
¿Y cómo encontramos todas esas raíces? Bueno, ahí es donde entra Gauss: Él es quien nos dice cómo, y eso ya lo expliqué en la pregunta anterior: Ver aquí.
¿Y cuál es la diferencia entre este Caso y el Sexto Caso?
Como dije antes, podríamos considerar al Sexto Caso es un caso particular de este Caso. Porque en ambos Casos hacemos lo mismo: dividir por un polinomio de la forma (x - a) y usar
el concepto de división para factorizar como DIVISOR X COCIENTE.
Pero lo particular del Sexto Caso es que no buscamos la raíz por el término independiente, sino que la raíz la sabemos con sólo ver la forma del polinomio, porque hay una REGLA
PRÁCTICA que nos lo dice: "Si es suma de potencias impares, se dividide por la suma de las bases. Si es resta de potencias impares, se divide por la resta de las bases...". En esa
regla nos están diciendo por cuál polinomio dividir, y por ende nos están dando la raíz (sin decirlo) sin que la busquemos. Por la forma particular que tienen los polinomios que
se pueden factorizar con el Sexto Caso (sólo dos términos, sumando o restando, y potencias del mismo grado), se puede saber por cuál polinomio dividirlo (y eso es lo mismo que
conocer una raíz del polinomio). Ésa es una propiedad que tienen sólo los polinomios con esa forma, y por eso es un "caso particular".
Entonces, aplicamos el Sexto Caso cuando tenemos un polinomio de dos términos; pero para polinomios cualquier cantidad de términos, donde no hay otro Caso que se pueda aplicar,
usamos este Caso de Factoreo por Gauss, porque no cumplen la propiedad de los otros, no hay una Regla Práctica que nos diga por cuál polinomio dividirlos. Entonces, la diferencia
fundamental entre estos Casos está en la forma del polinomio que quiero factorizar, y no en los conceptos en que se basan:
Sexto Caso: Para polinomios de dos términos, que sean suma o resta de potencias de igual grado.
Caso de Factoreo con Gauss: Para polinomios de cualquier cantidad de términos, que tengan un término independiente.
Pero cuidado: Últimamente he visto que en el Sexto Caso no todos los profesores de Nivel Medio enseñan usar la "regla", sino que algunos enseñan sobre buscar la raíz, como en el
Caso de Gauss que estamos viendo. Resulta que en un polinomio de dos términos con potencias del mismo grado hay una manera muy rápida de encontrar la raíz, y eso es lo que se
puede hacer. Para quienes lo vean así, voy a explicar un ejemplo:
x5 - 32 =
x 2
Las bases son: x y 2. Y es suma de potencias impares. En vez de usar la Regla Práctica que nos diría que debemos dividir por (x - 2), algunos profesores les hacen reemplazar la x
con el número 2 y el número -2, de la siguiente manera:
25 - 32 = 0
(-2)5 - 32 = -32 -32 = 64
Como fue usando el 2 que el resultado dió 0, resulta que el 2 es raíz del polinomio (¿por qué?). Y entonces se lo puede
dividir por (x - 2): Como en nuestro Caso, por (x - raíz). Se trata entonces de reemplazar la base numérica (el "2"), con positivo y con negativo, buscando cuál de las dos cuentas
dá 0. Pero para esto hay que incorporar un nuevo concepto: "Raíz de un polinomio es un número que al reemplazarlo por la x hace que el polinomio dé 0". Es otra forma de hacerlo,
pero incorpora un nuevo concepto que no es habitual usar en el Nivel Medio: lo que es una raíz, y que se puede dividir al polinomio por (x - raíz). En general lo hacen
mecánicamente sin entender lo que están haciendo.
Pero al hacerlo de esta otra manera, se parece más aún al Caso de Gauss. Porque la base es un divisor del término independiente, y estamos usando el concepto de raíz. Simplemente
que en un polinomio con las características del Sexto Caso, no necesitamos buscar todos los divisores del término independiente, sino que basta con probar con la base en positivo
o en negativo: alguna de las dos será la raíz que buscamos. Sólo tenemos que hacer dos pruebas. Ahora, ¿qué es más fácil: recordar la Regla o hacer las dos pruebas? Porque
las pruebas las hacemos por no saber o no recordar la Regla... Y esto de las pruebas lleva a otro asunto que responderé en la próxima pregunta...
¿Cómo puedo saber si un número es raíz de un polinomio? ¿Es la división por
(x - raíz) la única forma?
No. Como en el Nivel Medio no suelen hablar mucho de las raíces de los polinomios, les hacen directamente hacer la división y les dicen que tiene que dar cero el Resto. Así
también lo expliqué yo, para seguir en la misma línea de lo que se dá en el Nivel Medio.
Pero en realidad, para saber si un número es raíz de un polinomio (con un sólo tipo de letra, "x" por ejemplo), hay que reemplazar todas
las letras por ese número, y la cuenta total debe dar cero. Por ejemplo, el -2 es raíz del polinomio:
2x3 -3x2 - 11x + 6 =
Porque:
2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6 = 2.(-8) - 3.4 + 22 + 6 = -16 - 12 + 22 + 6 = 0
Y eso es porque, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado dá cero. Se le llama raíces a esos números que hacen que un polinomio "dé
0". A este tipo de pruebas se le llama "Hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice "especificar el polinomio en tal número". En general a los polinomios se los
llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) = 2x3 -3x2 - 11x + 6
Y esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en el lugar de esa x que está entre paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en
ese número, o hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-2) = 2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.
Entonces, cuando estamos usando este Caso de Factoreo con Gauss, tenemos otro método para saber si un número es o no raíz. No hace falta hacer la división por Ruffini para cada
número que pueda ser raíz. En vez de la división, se puede hacer P(posible raíz) y tiene que dar cero. A veces es una cuenta mucho más sencilla que hacer toda una división por
Ruffini. Otras veces no. Por ejemplo cuando se lo aplica en el Sexto Caso, donde es una simple suma o resta: 25 - 32 = 0.
¿Cuando me conviene aplicar este Caso en un polinomio?
Este Caso conviene dejarlo como último recurso, cuando no se puede aplicar ninguno de los 7 casos anteriores. Esta sugerencia no tiene que ver con su dificultad, sino que es
porque los Casos de Factoreo tradicionales son los otros, y los profesores de Nivel Medio van a esperar que apliquen los otros Casos si es posible. Si en un polinomio donde se
puede aplicar el Tercer Caso, aplican éste Caso de Gauss, al profesor le va a parecer que no saben ustedes reconocer a un Trinomio Cuadrado Perfecto, y eso les bajará puntaje. Lo
mismo con los otros Casos, porque en realidad este Caso es aplicable a muchos polinomios que también se pueden factorizar por los otros Casos. Sólo basta que tenga un término
independiente, un sólo tipo de letra, y que puedan encontrarse raíces con los divisores del término independiente.
¿Cuándo desisto de usar este Caso?
Y, si no encuentro ninguna raíz (o ninguna división dá con resto cero), no podré factorizar. Luego de analizar todas las posibles raíces y comprobar que ninguna lo es en realidad,
desisto de usar este Caso. Recordemos que hay dos formas de saber si un número es raíz o no del polinomio:
1) Dividir por (x - supuesta raíz), y el Resto debe dar cero para que la supuesta raíz lo sea en realidad (Ver aquí).
2) Reemplazar la letra del polinomio por la supuesta raíz, y el Valor Numérico tiene que dar 0 (Ver aquí).
¿Qué son las raíces de un polinomio? ¿A ver algunos ejemplos?
Como ya dije antes, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado dá cero. Se le llama raíces a esos números que "hacen que un polinomio dé
0". Es decir, aquellos números que, reemplazados en la letra del polinomio (x es la que estamos usando), hacen que el Valor numérico del polinomio sea cero. Por ejemplo en:
x2 + 3x + 2 =
Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:
(-2)2 + 3.(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 El Valor que toma el polinomio es "cero".
Podemos decir entonces que (-2) es raíz de ese polinomio. En cambio, si reemplazo la x por el número 3, tenemos que:
32 + 3.3 + 2 = 9 + 9 +2 = 20 El Valor Númerico del polinomio es desigual a "cero".
Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio.
A este tipo de pruebas se le llama "hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice "especificar el polinomio en tal número". Y en general a los polinomios se los
llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
Esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en esa x que está en el paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número, o
hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.
¿Para qué necesito en este Caso las raíces del polinomio?
Porque para factorizar con este Caso debemos dividir al polinomio por (x - alguna raíz), como ya vimos en la explicación de los ejemplos. Para poder hacer esa división o
divisiones es que buscamos raíces, ya que un polinomio puede factorizarse así:
a.(x - x1).(x - x2).(x -x3)..... etc.
Donde x1, x2, etc. son raíces del polinomio, y "a" el coeficiente principal, aunque este último detalle no hace falta tenerlo en cuenta en este Caso.
Y viendo el polinomio factorizado de esa manera, nos podemos dar cuenta de las raíces son los números que "hacen que el polinomio dé 0", como dije cuando expliqué lo que son las
raíces. Veamos en un ejemplo:
3.(x - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
En ese polinomio, las raíces son: 1, -4, 2, 3 y -5. Porque, ¿qué pasa si reemplazo en el polinomio por alguno de ellos, por ejemplo 1? El binomio (x - 1) va a valer cero (1 - 1 =
0). Y entonces queda todo el polinomio multiplicado por cero, lo cual por supuesto dá cero. Así:
3.(1 - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5) =
3.0.(x + 4).(x -2).(x - 3).(x + 5) = 0
Lo mismo va a suceder si reemplazo la x por otra cualquiera de las raíces, por ejemplo: -4
3.(x - 1).(-4 + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
3.(x - 1).0.(x - 2).(x - 3).(x + 5) = 0
EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1)
2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)
Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2
Posibles raíces del polinomio: k/a
Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),
(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.
Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:
| 2 -3 -11 6
|
|
-2| -4 14 -6
2 -7 3 | 0
Cociente: 2x2 - 7x + 3 Resto: 0
Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).
En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con
Gauss:
|
|
2x2 - 7x + 3 =
Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:
| 2 -7 3
|
|
3| 6 -3
2 -1 | 0
Cociente: (2x - 1) Resto: 0
Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:
(x + 2).(x - 3).(2x - 1)
Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los cocientes que forman
esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se
factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un número es raíz del
polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)
Para más información consultar en CONCEPTOS GENERALES
DEL CASO
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Coeficiente principal igual a "1")
x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)
k = 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 8, - 8, 12, -12, 24, - 24
a = 1, -1
Posibles raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24
Pruebo dividir por (x + 1) y el resto dá 0:
| 1 0 -15 10 24
|
|
-1| -1 1 14 -24
1 -1 -14 24 | 0
Va quedando: (x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24)
Ahora factorizo el cociente x3 - x2 - 14x + 24. Las posibles raíces son las mismas, porque es el mismo término independiente. Pruebo dividir por (x
-2) y el resto dá cero:
| 1 -1 -14 24
|
|
2| 2 2 -24
1 1 -12 | 0
Ahora va quedando: (x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12)
Factorizo el último cociente, que es de segundo grado. Podría usar Séptimo Caso, pero sigo con Gauss. Las posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6,
-6, 12, -12. Pruebo dividir por (x - 3):
| 1 1 -12
|
|
3| 3 12
1 4 | 0
La factorización queda así:
(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)
Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque k/1 = k. Entonces
las posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del término independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
|
, porque
= 1,7325... ; 
= 2,2360679... ; y otros números conocidos,
como PI = 3,1415926... y e= 2,71828... A todos estos se los llama números irracionales.
. Porque que (
x2 + 12
x + 8 = (
x + 2)3
. Ya que (
, dá como resultado 3, un número natural, es decir: "sin coma". En realidad es porque existe un número natural que elevado al cuadrado es
igual a 9, y ese número es 3. Pero, la costumbre de la mayoría es tomar la calculadora y poner: 
, dá como resultado 2,828427125. Este número decimal me llena la pantalla de la calculadora, y es porque en realidad sigue hasta el infinito con sus
cifras decimales. Este tipo de números pertenece a un conjunto que se llama Números Irracionales. Digo que una raíz no es exacta cuando el resultado es un número irracional.
= 2
), lo que usamos es que los polinomios de segundo grado pueden descomponerse como producto de dos polinomios de la forma (x - raíz), multiplicado por el coeficiente
principal (
no dá como resultado un
número Real, ya que no existe ningún número Real que elevado a la potencia 2 dé como resultado -16. Cualquier número Real que elevemos a la potencia 2 nos dará como
resultado un número positivo, nunca dará un número negativo. Y eso es porque, al elevar a la potencia 2, estoy multiplicando 2 veces por sí mismo a un número. Y siempre
que multiplique 2 veces por sí mismo a un número, voy a obtener un resultado positivo, debido a la Regla de los signos para la multiplicación ("más por más, más", "menos
por menos, más"). Veámoslo con ejemplo: 
(con la suma)
(con la resta)
)].[x - (
)] = (x + 
).(x + 
)