Tomado de:

https://www.matesfacil.com/ESO/inecuaciones/ejercicios-resueltos-inecuaciones.html

INECUACIONES

Al resolver una inecuación o desigualdad se pretende encontrar un intervalo de valores que cumplan la relación dada, al contrario de lo que sucede en las ecuaciones en las que se encuentran valores específicos. por ejemplo si decimos x > 0 cualquier valor positivo cumple la relación por lo tanto el intervalo (0,a) será la solución.

    
        1. Introducción
    

Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas

en las que aparece una o más incógnitas. Resolver una inecuación consiste en

encontrar todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación de desigualdad.

Los signos de desigualdad que se utilizan en las inecuaciones son: $<$ , $>$ , $\leq$ y $\geq$ :

a < b significa "a es menor estrictamente que b". Por ejemplo: 2 < 3.
a > b significa "a es mayor estrictamente que b". Por ejemplo: 3 > 2.
a ≤ b significa "a es menor o igual que b". Por ejemplo: 2 ≤ 2.
a ≥ b significa "a es mayor o igual que b". Por ejemplo: 3 ≥ 2.

Nota: se dice que los signos $<$ y $>$ son estrictos porque no puede darse la igualdad. Es decir, indican "menor" y "mayor", respectivamente, pero nunca "igual".

    
        2. Solución de una inecuación
    

La solución de una inecuación es el valor o conjunto de valores que puede tomar

la incógnita $x$ para que se cumpla la inecuación. A diferencia de las ecuación

(cuyo signo es "="), no podemos saber de antemano el número de soluciones.

Puede darse el caso en que la solución es sólo un punto (por ejemplo, $x = 2$ ),

un intervalo (por ejemplo, $x \in [0, 2]$ ), una unión de intervalos o que no exista

ninguna solución.

    
        3. Tipos de inecuaciones
    

Inecuación lineal: cuando las expresiones de ambos lados son polinomios de

primer grado.

Ejemplo:

$x + 2 \leq 0$

La solución de esta inecuación es el intervalo $(- \infty, - 2]$ .

Inecuación de segundo grado: cuando las expresiones de ambos lados son

polinomios de grado menor o igual que 2.

Ejemplo:

$x^{2} < 0$

Esta inecuación no tiene soluciones (reales) puesto que ningún número al cuadrado

es negativo.

Inecuación racional: cuando las expresiones de uno o ambos lados son un cociente

de polinomios.

Ejemplo:

$\frac{2}{x} \leq 0$

La solución de esta inecuación es $x \in (- \infty, 0)$ .

Inecuación con valor absoluto: cuando en las expresiones algebraicas hay

valores absolutos.

Ejemplo:

$| x | < 0$

Esta inecuación no tiene solución porque el módulo (valor absoluto) de un número

es siempre mayor o igual que 0.

Resolvemos este tipo de inecuaciones en otra página:

    
        4. Nota previa (para resolver inecuaciones)
    

La metodología de resolución es análoga a la de las ecuaciones, pero teniendo

siempre en cuenta que se trata de una desigualdad. Esto supone, por ejemplo,

cambiar el signo de desigualdad cada vez que multiplicamos o dividimos por un

negativo para mantener la relación.

Ejemplo:

$2 \leq 3$

Para multiplicar por un negativo, por ejemplo, -2, cambiamos la desigualdad al

resultado:

$- 2 \cdot 2 \geq - 2 \cdot 3$

$- 4 \geq - 6$

Notemos que si no la cambiamos, obtenemos una relación falsa ( $- 4 \leq - 6$ ).

Intervalos: en los intervalos utilizaremos los símbolos " $($ " y " $[$ " para el extremo

izquierdo y los símbolos " $)$ " y " $]$ " para el extremo derecho. Los paréntesis

indican que el extremo está incluido en el intervalo y los corchetes indican lo contrario.

Por ejemplo, el intervalo $(2, 3)$ están incluido en el intervalo $[2, 3)$ , pero

también en $(2, 3]$ y en $[2, 3]$ . Sin embargo, el intervalo $[2, 3)$ no está

incluido en $(2, 3]$ ni en $(2, 3)$ .

Para expresar la unión de dos o más intervalos utilizamos el símbolo $\cup$ .

        5. Inecuaciones lineales resueltas

Inecuación 1

$Resolución de inecuaciones lineales, de segundo grado y racionales: inecuaciones simples, con fracciones (donde usaremos el mínimo común múltiplo), con paréntesis y con paréntesis anidados (unos dentro de otros). Bachiller. Bachillerato.$

Solución

Agrupamos los monomios según su parte literal (los que tienen x y los que no)

como hacemos en las ecuaciones de primer grado, pero sin multiplicar ni dividir

toda la inecuación por un número negativo:

Por tanto, la solución es un intervalo:

donde los paréntesis indican que los extremos del intervalo no están incluidos

(desigualdad estricta). Por ejemplo, los siguientes valores sí verifican la inecuación:

$x = - 8.0001$

$x = - 9$

$x = - 10000000000$

Solución

Inecuación 2

Solución

Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una ecuación:

Ahora, para aislar la incógnita tenemos que dividir la inecuación por su coeficiente,

que es -24. Como este número es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al

dividir:

Por tanto, la solución es un intervalo:

donde el corchete de la derecha indica que se incluye el extremo del intervalo

(es donde se cumple la igualdad).

Solución

Inecuación 3

Solución

Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una ecuación:

Calculamos el mínimo común múltiplo (comunes y no comunes al mayor exponente)

de los denominadores para poder sumar las fracciones:

Realizamos los cambios en las fracciones y las sumamos:

Como el denominador, 300, es positivo, podemos multiplicar toda la inecuación

por 300 para que éste desaparezca:

Para aislar la incógnita tenemos que dividir por su coeficiente. Como éste es positivo,

no cambia el signo de desigualdad:

Por tanto, la solución es un intervalo:

donde el corchete indica que también se incluye el extremo derecho.

Solución

Inecuación 4

Solución

Tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro). No olvidemos que un signo

negativo delante de un paréntesis cambia el signo de todos los sumandos que contiene.

No existe una única forma para eliminar los paréntesis. Nosotros los eliminaremos

desde el interior al exterior:

Como el coeficiente de la incógnita es positivo, no debe cambiamos la desigualdad

al aislar $x$ :

Por tanto, la solución es un intervalo:

donde el corchete indica que el extremo izquierdo está incluido.

Solución

Inecuación 5

Solución

Agrupamos los monomios según su parte literal como hacemos en las ecuaciones

de primer grado. Como tenemos que sumar fracciones, multiplicaremos toda la

inecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (de las fracciones

grandes).

El mínimo común múltiplo es

Multiplicamos:

Continuamos simplificando:

Multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores actuales

(es decir, por 15):

Como el coeficiente de la incógnita es negativo, cambiamos la desigualdad al

despejar $x$ :

Por tanto, la solución es un intervalo:

donde los paréntesis indican que no incluimos los extremos del intervalo

(la desigualdad es estricta).

Solución

    
        6. Inecuaciones de segundo grado resueltas
    

Inecuación 1

Solución

Primero calculamos los valores para los que se cumple la igualdad. Para ello,

cambiamos la desigualdad por una igualdad. De este modo tendremos una

ecuación de segundo grado cuyas raíces determinan los extremos de los intervalos de las soluciones de la

inecuación:

Situamos las raíces en la recta real y obtenemos 3 intervalos:

Escogemos un número al azar de cada intervalo (por ejemplo, $x = - 2$ , $x = 0$ y $x = 4$ )

y comprobamos si para alguno de estos valores se cumple la inecuación. No importa cuá

l escogemos puesto que el signo de la inecuación se mantiene constante en cada

intervalo.

Comprobamos:

Por tanto, la inecuación se verifica en dos de los intervalos:

donde los corchetes indican que los extremos de los intervalos están incluidos

(es en ellos donde se da la igualdad de la inecuación).

Solución

Inecuación 2

Calculamos los valores para los que se cumple la igualdad. Para ello, cambiamos

la desigualdad por una igualdad, obteniendo una ecuación de segundo grado cuyas

raíces determinan los extremos de los intervalos de las soluciones de la inecuación:

Las soluciones de la ecuación de segundo grado anterior son

La igualdad de la inecuación se cumple para estos valores de x. Situamos las

raíces en la recta real:

Notemos que podemos escribir la inecuación inicial como

cumpliéndose la igualdad en los puntos azules (las raíces de la ecuación).

Sabemos que entre las raíces de una ecuación cuadrática el signo se mantiene

constante (si no fuera así, habría al menos un cambio de signo y, por tanto, otra raíz).

Por tanto, en los tres intervalos representados los signos se mantienen constantes.

Así que escogemos un valor cualquiera de cada uno de ellos y comprobamos

el signo. Si el signo es negativo, se cumple la inecuación y el intervalo al que

pertenece será parte de la solución de la inecuación.

Escogemos, por ejemplo, -2, 0, 1:

Sustituimos en la inecuación (la anterior o la inicial, es lo mismo porque son

equivalentes):

Por tanto, la solución de la ecuación es sólo un intervalo:

donde los corchetes indican que los extremos del intervalo están incluidos.

Comentario: como tenemos una ecuación de segundo grado, podemos tener dos

raíces, una o ninguna. Por tanto, tendremos particiones de 3 intervalos,

2 intervalos o 1 (todos los reales). En el primer caso, si un intervalo es solución,

sus adyacentes no lo son. En el segundo, si un intervalo es solución, el otro

también. Estos hechos se deducen considerando la gráfica de la parábola y

que sus raíces son los puntos de corte con el eje de abscisas.

Solución

Inecuación 3

Solución

Primero calculamos los valores para los que se cumple la igualdad cambiando

la desigualdad por una igualdad y resolviendo la ecuación de segundo grado:

El discriminante de la ecuación es

Al ser negativo, no existen soluciones reales. Esto significa que se trata de una

parábola sin cortes en el eje de las abscisas (eje OX). En otras palabras,

la parábola siempre es positiva o siempre es negativa.

Como el término principal es positivo (+6), el vértice está en la parte

inferior y, por tanto, la parábola es positiva. Podemos hacer la comprobación

dando un valor a $x$ , por ejemplo, $x = 0$ :

Por tanto,

Usando la inecuación inicial,

Por tanto, la solución es todos los reales:

Solución

Inecuación 4

Solución

Cambiamos la desigualdad por una igualdad para obtener una ecuación de

segundo grado:

Multiplicamos por 4 para evitar los denominadores:

Las raíces de la ecuación son

y también son los valores para los que se cumple la igualdad en la inecuación.

Luego tenemos la partición

Tomamos un número de cada intervalo, por ejemplo 0, 0.5 y 1 y comprobamos

si se cumple la inecuación inicial:

Por tanto, la solución está formada por dos intervalos:

donde los corchetes indican que los extremos de los intervalos están incluidos.

Solución

Inecuación 5

Solución

Calculamos los valores para los que se cumple la igualdad. Para ello, cambiamos

la desigualdad por una igualdad:

Finalmente, resolvemos la ecuación

Tenemos la raíz doble $x = - 1$ . Notemos que la inecuación inicial es equivalente a

Puesto que el cuadrado de un número siempre es mayor o igual que 0, en la

inecuación sólo puede darse la igualdad. Esto ocurre cuando $x = - 1$ .

Por tanto, la única solución de la inecuación es $x = - 1$ .

Solución

    
        7. Inecuaciones racionales resueltas
    

Inecuación 1

Solución

Tenemos una fracción y queremos estudiar su signo. Como estamos dividiendo,

el signo de la fracción depende de los signos del numerador y del denominador.

Cuando el numerador y el denominador tienen el mismo signo, la fracción es positiva.

Si lo tienen distinto, es negativa. Tenemos que ver las distintas posibilidades.

Primero analizamos los signos del numerador y del denominador por separado.

Numerador:

Denominador:

La segunda desigualdad es estricta (sin el igual) ya que el denominador no puede ser 0.

Representamos los valores en dos rectas indicando el signo en cada intervalo:

Hemos representado una recta encima de otra porque ahora tenemos que trabajar

con ambas.

El único intervalo para el que el numerador y el denominador tienen el mismo signo

(y por tanto, la solución de la inecuación) es:

Siendo ambos positivos en el intervalo. El corchete indica que se incluye el extremo

del intervalo ya que en él es donde se cumple la igualdad de la inecuación.

Solución

Inecuación 2

Solución

Primero analizamos los signos del numerador y del denominador por separado.

Como queremos que la fracción sea negativa (o cero), el signo del numerador

y del denominador han de ser distintos (o el numerador 0).

Numerador:

Denominador:

Notemos que hemos escrito desigualdad estricta para el denominador porque éste

no puede ser 0.

Representamos los valores en dos rectas indicando el signo en cada intervalo:

Hemos representado una recta encima de otra porque ahora tenemos que trabajar

con ambas.

El único intervalo para el que el numerador y el denominador tienen signos distintos

(y por tanto, la solución de la inecuación) es:

El corchete indica que se incluye el extremo del intervalo ya que en él es donde se

cumple la igualdad de la inecuación.

Solución

Inecuación 3

Solución

Para que la fracción sea negativa (o cero), el signo del numerador y del denominador

han de ser distintos (o el numerador 0).

Numerador: es una ecuación de segundo grado, pero por la forma en la que

está escrita (factorizada) sabemos que las raíces son 1 y -1. Estudiamos el signo

en los tres intervalos:

No olvidemos que $x$ no puede valer 0 en el denominador (denominador nulo).

Mirando las rectas obtenemos los intervalos donde los signos son distintos:

Donde los corchetes indican que los extremos del intervalo están incluidos.

Solución

Inecuación 4

Solución

Como la fracción tiene que ser positiva, queremos que el signo del numerador

y el del denominador sean el mismo.

Tanto numerador como denominador son polinomios de segundo grado.

Numerador: las raíces son -10 y 1/2

Denominador: calculamos las raíces

Los intervalos donde coinciden los signos (y por tanto, la solución de la inecuación) son

donde los corchetes indican que los extremos de los intervalos están incluidos

(-2 y 1 no se incluyen porque son los valores para los que el denominador se anula).

Solución

Inecuación 5

Solución

Vamos a operar en la inecuación para obtener una expresión como las anteriores

(fracción menor o igual que 0).

Para poder sumar las fracciones, multiplicamos y dividimos la fracción de la

derecha por el denominador de la de la izquierda:

Ahora ya podemos sumarlas:

Operamos:

Estudiamos los signos en los diferentes intervalos:

Los intervalos donde no coinciden los intervalos son (y por tanto, la solución de

la inecuación)

Introducción

El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).

Por ejemplo,

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

Notemos que:

si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo);
si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.

Definición de la función Valor Absoluto

Ver Definición

Propiedades del Valor Absoluto

Ver Propiedades

Inecuaciones Resueltas

Antes de empezar, diremos que en todos los problemas usaremos la cuarta propiedad del apartado "Propiedades del Valor Absoluto".

Inecuación 1