CLASE Ecuación exponencial y logaritmica

tomado de

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/log/ecuaciones-exponenciales.html#tema_resolucion-de-ecuaciones-exponenciales

ECUACION EXPONENCIAL

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la

que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta

Las propiedades de las potencias

$a> 0$
$a\neq 0$
$a^{0}=1$
$a^{1}=a$
$a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}$
$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$
$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$
$a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
$a^{n}\div b^{n}=(a\div b)^{n}$
si $a^{n}=a^{m}$ entonces $m=n$ Resolución de ecuaciones exponenciales
Caso 1:Ambos miembros pueden expresarse en la misma base

Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.

Ejemplos

1 $\sqrt[3]{8^{x}}=65536$

Reescribimos el lado derecho como $8^{\frac{x}{3}}$ y descomponemos el número $65536=2^{16}$

$8^{\frac{x}{3}}=2^{16}$

Como $8=2^{3}$ entonces:

$(2^{3})^{\frac{x}{3}}=2^{16}$

$2^{x}=2^{16}$

Igualamos las potencias

$x=16$

2 $\sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}$

Trasformamos las raíces en potencias de exponente fraccionario e igualamos los exponentes

$3^{\cfrac{x-3}{2x-1}}=3^{\cfrac{3}{2}}$

$\cfrac{x-3}{2x-1}=\cfrac{3}{2}$

Resolvemos la ecuación resultante:

$x=-\cfrac{3}{4}$

3 $2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28$

Extraemos factor común $2^{x}$

$2^{x}(2+1+2^{-1})=28$

Aplicamos la ley de potencia negativa y resolvemos las operaciones y despejamos $2^{x}$
$2^{x}\left (3+\cfrac{1}{2} \right )=28$

$2^{x}\left (\cfrac{7}{2} \right )=28$

$2^{x}=8$ Reescribimos la ecuación con la misma base e igualamos los

exponentes

$2^{x}=2^{3}$

$x=3$

Caso 2: La suma de los términos de una progresión geométrica

Si tenemos la suma de los n
términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula:

$S_{n}=\cfrac{a_{n}\cdot r-a_{1}}{r-1}$

Ejemplo

$1+2+4+8+...+2^{x}=1023$

Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica:

$1023=\cfrac{2^{x}\cdot 2-1}{2-1}$

Despejamos $2^{x}$ y expresamos ambos miembros con la misma base

$512=2^{x}$ $2^{9}=2^{x}$ $x=9$

Caso 3: Cambio de variable

Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.

Ejemplos

1 $2^{2x+1}-3\cdot 2^{x}+1=0$

En primer lugar aplicamos las propiedad del producto de potencias para quitar la suma del exponente.

$2^{2x}\cdot 2-3\cdot 2^{x}+1=0$

Aplicamos la propiedad de potencia de otra potencia

$(2^{x})^{2}\cdot 2-3\cdot 2^{x}+1=0$

Realizamos el cambio de variable $t=2^{x}$

$2t^{2}-3t+1=0$

Factorizando la ecuación y resolviendo

$(2t-1)(t-1)=0$

$t_{1}=\cfrac{1}{2}\; \; \; \; \; t_{2}=1$

Deshacemos el cambio de variable

$\frac{1}{2}=2^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x_{1}=-1$

$-1=2^{x}$

De la segunda ecuación no se obtiene solución

2 $2-3^{-x}+3^{x+1}=0$

Aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes

$2-\cfrac{1}{3^{x}}+3^{x}\cdot 3=0$

Hacemos el cambio de variable $t=3^{x}$

$2-\cfrac{1}{t}+3t=0$

Multiplicamos ambos miembros por t

$2t-1+3t^{2}=0$

Factorizamos y resolvemos la ecuación

$(3t-1)(t+1)=0$

$t_{1}=\cfrac{1}{3}\; \; \; \; \; t_{2}=-1$

Deshacemos el cambio de variable

$\cfrac{1}{3}=3^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=-1$

$-1=3^{x}$

De la segunda ecuación no se obtiene solución

3 $4^{3x}=8^{x}+3$

Descomponemos en factores $4=2^{2}$ y $8=2^{3}$

$(2^{2})^{3x}=2^{3x}+3$

Realizamos el cambio de variable $2^{3x}=t$

$t^{2}-t-3=0$

$t=\cfrac{1\pm \sqrt{13}}{2}$

Deshacemos el cambio de variable solo con la solución positiva.

$2^{3x}=\cfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro aplicamos la propiedad:

$\log _{a}(x^{n})=n\log _{a}x$

$\log 2^{3x}=\log \cfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

$3x\log 2=\log \cfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

Despejamos la x

$x=\cfrac{\log \cfrac{1+\sqrt{13}}{2}}{3\log 2}=0,441$

Para la otra solución de signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.

Caso 4: No se pueden expresar ambos miembros con la misma base

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

$a^{x}=b$

$\log_{a}a^{x}=\log_{a}b\; \; \; \; \; x\log_{a}a=\log_{a}b\; \; \; \; \; x=\log_{a}b$

Ejemplo

1 $10^{x+2}=5$

Tomamos logaritmos en los dos miembros

$\log 10^{x+2}=\log 5$

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

$(x+2)\log 10=\log 5$

Como $\log10=1$

$x+2=\log 5$

Despejamos $x$

$x=\log5 -2 = -1,3010$

Resolver las ecuaciones exponenciales siguientes

1 $2^{1-x^{2}}=\cfrac{1}{8}$

2 $\sqrt[3]{8^{x}}=65536$

3 $4^{x^{2}-6x}=16384$

4 $4^{\sqrt{x+1}}-2^{\sqrt{x+1}+2}=0$

5 $3^{x^{2}-1}=134$

6 $2^{2x}\cdot 2=3^{x}\cdot 3^{3}$

7 $3^{x}\cdot 5^{2x}=150$

ECUACION LOGARITMICA

tomado de:

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/log/ecuaciones-logaritmicas.html

Propiedades de los logaritmos

1 $log_{a}b=x \Rightarrow a^{x}=b$

2 $log_{a}a=1$

3 $log_{10}A=logA$

4 $log\left ( A\cdot B \right )=logA+logB$

5 $\displaystyle log\left ( \frac{A}{B} \right )=logA-logB$

6 $logA^{n}=n\cdot logA$

Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos el logaritmo de un número negativo o de cero, esto es muy frecuente cuando tenemos una expresión de segundo grado en el argumento del logaritmo.

Ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas

Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

1 $log(x)=2$

Para resolver esta ecuación basta con aplicar la propiedad 1
(Definición de logaritmo):

$10^{2}=x$

$100=x$

$x=100$

2

Podemos aplicar la propiedad $6$ despejar y posteriormente la propiedad 1

$2\cdot log(x)=8$

$\displaystyle log(x)=\frac{8}{2}$

$log(x)=4$

$10^{4}=x$

$x=10000$

3 $log_{4}(4-3x)=3$

Aplicamos la propiedad 1 y luego despejamos la variable X

$4^{3}=4-3x$

$64=4-3x$

$3x=4-64$

$3x=-60$

$x=-20$

En el primer miembro aplicamos el logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

4 $log(x)+log(x+3)=2\cdot log(x+1)$ Usando las propiedades de los logaritmos podemos expresar como un solo logaritmo cada miembro de la ecuación. Para el primer miembro podemos emplear la propiedad 4 y en el segundo miembro la 6

$log[x\cdot (x+3)]=log(x+1)^{2}$

Una vez que ambos miembros están expresados en función de un sólo logaritmo, podemos igualar sus argumentos (Inyectividad de los logaritmos):

$x\cdot (x+3)=(x+1)^{2}$

Resolvemos la ecuación resultante:

$x\cdot (x+3)=(x+1)^{2}$

$x^{2}+3x=x^{2}+2x+1$

$3x=2x+1$

$x=1$

5 $\displaystyle \frac{log(16-x^{2})}{log(3x-4)}=2$

El denominador del primer miembro multiplica al segundo miembro de la ecuación:

$log(16-x^{2})=2\cdot log(3x-4)$

Aplicamos la propiedad 6
e igualamos los argumentos de los logaritmos:

$log(16-x^{2})=log(3x-4)^{2}$

$16-x^{2}=(3x-4)^{2}$

Resolvemos la ecuación:

$16-x^{2}=9x^{2}-24x+16$

$10x^{2}-24x=0$

$2x(5x-12)=0$

$x_{1}=0$ $\displaystyle x_{2}=\frac{12}{5}$

En este caso, debemos verificar si alguna de las soluciones nos indetermina algún logaritmo:

Usando $x_{1}=0$

$\displaystyle\frac{log(16-0^{2})}{log(3\cdot0-4)}=2$

En el denominador obtendríamos:

$log(-4)$

lo cual es una indeterminación, ya que no es posible calcular el logaritmo de un número negativo. Por lo tanto, la solución de la ecuación sería $\displaystyle x_{2}=\frac{12}{5}$