Lo primero que hacemos es despejar la $y$ en ambas ecuaciones.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizaremos $x=0$ y $x=2$.

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla

Ahora representamos los puntos de cada tabla uniéndolos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

 

Sistema 2

Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

En este problema vamos a dar valores a la $x$ y a la $y$ directamente. Los puntos que escogemos son los puntos de corte con los ejes (es decir, $x=0$ e $y=0$).

En la primera ecuación, si $x=0$, entonces

Y si $y=0$, entonces

Por tanto, para la primera recta tenemos

Repetimos el proceso con la segunda ecuación:

Si $x=0$, entonces

Y si $y=0$, entonces

Por tanto, para la segunda recta tenemos

Ahora representamos los puntos de cada tabla uniéndolos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

Como tenemos la $y$ despejada en ambas ecuaciones, damos valores a $x$. Utilizamos $x=1$ y $x=-1$.

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla

Ahora representamos los puntos de cada tabla uniéndolos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan, pero las rectas de este problema no se cortan porque son paralelas (tienen la misma pendiente $m=2$). Por tanto, el sistema no tiene solución.

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Lo primero que hacemos es despejar la $y$ en ambas ecuaciones.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Para la primera, utilizaremos $x=-2$ y $x=10$ y para la primera la segunda, $x=2$ y $x=6$.

La primera tabla que tenemos es

La segunda tabla es

Representamos y unimos los puntos de las rectas:

La solución del sistema es el punto donde las rectas se cortan:

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En este problema vamos a dar valores a $x$ y a $y$ sin despejar la $y$. Calcularemos los puntos de corte con los ejes dando los valores $x=0$ e $y=0$.

En la primera ecuación, si $x=0$, entonces

Y si $y=0$, entonces

En la segunda ecuación, si $x=0$, entonces

Y si $y=0$, entonces

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla

Los dos puntos obtenidos para cada función son los iguales. Esto significa que las rectas se cortan en dos puntos y, por tanto, las ecuaciones representan la misma recta. Recordad que la intersección entre dos rectas puede ser:

• un único punto,

• ningún punto (las rectas son paralelas) o

• infinitos puntos (se trata de la misma recta).

En este problema estamos en el segundo caso.

Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

La gráfica de las rectas del sistema es

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En este problema tenemos dos desigualdades.

Cada una de las desigualdades representa una región del plano. La solución del sistema es la intersección de ambas regiones. Por tanto, lo que haremos es representar las dos regiones por separado para observar la región en la que se cortan.

Para representar la región $y\ge 3x$, representamos primero la recta $y=3x$. Podemos hacerlo dando puntos. La gráfica de la recta es

La recta divide el plano en dos regiones e $y\ge 3x$ es una de ellas. Para saber cuál, tomamos un punto de cada una y comprobamos cuál de los dos cumple la desigualdad $y\ge 3x$.

Tomamos los puntos (-5,5) (lado izquierdo) y (5,-5) (lado derecho):

El punto que cumple la desigualdad $y\ge 3x$ es el primero ya que

Por tanto, la región $y\ge 3x$ es la del lado izquierdo (color azul):

Repetimos el proceso con la región $y\le 2-3x$ (región roja):

Ahora representamos ambas regiones y su intersección (color más oscuro) es la solución del sistema:

La solución del sistema de inecuaciones (o de desigualdades) es una región del plano y, por tanto, existen infinitos puntos que cumplen ambas inecuaciones.

 

Método de Determinantes o Kramer:

 

Un determinante es un arreglo de filas y columnas que se calcula así:

 

Determinante 1

Matriz de dimensión 2x2

Determinante 2

Matriz de dimensión 2x2

Determinante 3

Matriz de dimensión 2x2

Determinante 4

 

 

 

Matriz de dimensión 3x3