15.146  ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice señalamos con X?. Razona la respuesta:

 

 

Respuesta: X=70º30’. Se trata de un ángulo inscrito y vale la mitad del arco que abarcan sus lados, es decir, la mitad del ángulo central.

15.147 ¿Qué valor tiene X en la figura siguiente? Razónala.

 

 

Respuesta: X=31º. Mismo razonamiento del problema anterior.

15.148   Halla el valor de X en la figura siguiente:

 

Respuesta: X=62º por ser ángulo central y tener el doble del valor del ángulo inscrito cuyos lados abarcan el mismo arco.

15.149 ¿Cuántos grados vale el ángulo X?

 

 

Respuesta: X=135º
Solución:

El ángulo  es inscrito y sus lados abarcan el arco  que corresponde al ángulo central de 270º, luego X valdrá la mitad del ángulo central, es decir, 

 

15.150 ¿Cuánto vale el ángulo X de la figura siguiente y cuál la longitud del arco que abarcan sus lados?

Respuesta: X= 136º30’: longitud del arco = 

4) Ángulo interior: Un ángulo interior es el que tiene su vértice en un punto interior cualquiera de la circunferencia y sus lados son secantes a ella:

 

El ángulo  es un ángulo interior del que a continuación vamos a deducir el valor del arco que abarcan sus lados..

En primer lugar prolongamos los lados  y  :

 

Ahora unimos los puntos A y D:

Si te fijas bien, el ángulo  es un ángulo inscrito y vale la mitad del central la longitud del arco que le corresponde es :

 

Ves que el ángulo vale 73º, es decir, la mitad del ángulo central que mide 146º, abarcando los lados de ambos ángulos el mismo arco.

Podemos decir que 

El ángulo  también es un ángulo inscrito y le corresponderá el arco 

Escribiremos la igualdad 

En el triángulo  el ángulo en  verás que es un ángulo exterior, por lo tanto, vale la suma de los interiores no adyacentes a él:

Lo representamos en la figura siguiente:

 

 

Puedes comprobar que los ángulos interiores con vértices en  y en  suman los mismos grados que el exterior en :

La igualdad  puedo escribirla según todo lo que acabamos de estudiar:

La medida de un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que abarcan los lados y las prolongaciones de éstos.

 

 

15.151  ¿Cuánto vale un ángulo interior a una circunferencia si los arcos abarcados por sus lados y sus prolongaciones miden 81º y 33º? Dibuja.

Respuesta: 57º
Solución:

El arco  mide 81º y el arco  33º la semisuma de ambos vale 57º tal como te indica el ángulo 

Observa en la figura las medidas de los ángulos centrales (en color magenta)  tienen las mismas medidas que sus respectivos arcos.

  15.152  Un ángulo interior a una circunferencia mide 42º y uno de sus arcos 54º   ¿Cuánto medirá el otro arco?

Respuesta: 30º

5) Ángulo exterior: Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados respecto a ésta pueden ser secantes, tangentes, o un lado secante y el otro tangente.

Vamos a estudiar los tres casos:

1º Los lados son secantes:

 

 

El ángulo  que en la figura vale 20º es un ángulo interior del triángulo  y el ángulo que vale 17º es el otro ángulo interior no adyacente al exterior que vale 37º.

Sabemos que el valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes: 

Sabemos que el ángulo  es un ángulo inscrito y la medida del arco que abarcan sus lados es .

Lo mismo sucede con el ángulo que es un ángulo inscrito y la medida del arco es igual .

Ahora se trata de saber la medida de arcos que corresponde al ángulo exterior .

Vemos que 

Nos interesa despejar 

Donde 

Sustituyendo por las medidas de los arcos conocidos obtengo:

El valor de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.

2º Los lados son tangentes:

El razonamiento es igual al caso anterior. El ángulo  es exterior del triángulo que equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes:

El ángulo  es un ángulo semi-inscrito lo mismo que  y las medidas de los arcos que abarcan sus lados son respectivamente.

Los ángulos  y  son iguales, podemos escribir:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual al exterior no adyacente a ninguno de ellos.

Despejando el valor de 

Sustituyendo los valores de  y  por los arcos que abarcan sus lados llegamos: 

Como ves, estamos en el mismo caso como el estudiado cuando los lados eran secantes.

3º Los lados son uno tangente y el otro secante:

En esta figura ves lo mismo de lo que hemos estudiado en el caso anterior. La suma de los ángulos interiores del triángulo  que suman 147º + 32º = 147º es igual al exterior no adyacente a ninguno de los otros dos.
Siguiendo lo explicado en casos anteriores vemos que:

En los tres casos, el valor del ángulo exterior a una circunferencia  es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.