Clase: Introducción a las sucesiones y series

Sucesiones

Es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z⁺).

Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.

Ejemplos:

Serie:

Es la sumatoria de una sucesión

Ejemplos:

Tipos de series:

Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.

Series infinitas: el número de términos es ilimitado.

Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el infinito

Crecientes: a₁ < a₂ < a₃ <……< a_n (va aumentando término a término)

Decreciente: a₁ > a₂ > a₃ >……> a_n(va disminuyendo término a término)

Algunos tipos de series

Serie Geométrica:

Es aquella serie cuyo término de formación es:

donde:

a es una constante,

r es la base

Criterios para la serie:

Si |r| < 1 la serie converge, entonces se aplica la siguiente fórmula para determinar el valor de la convergencia.

Si |r| > 1 la serie diverge.

Serie Armónica:

Es aquella serie cuyo término de formación es:

Siempre diverge

Serie p:

Es aquella serie cuyo término de formación es:

Si p >1 la serie es convergente

Si p < 1 la serie es divergente

Propiedades de las series:

Si las series A=∑a_n y B=∑b_n convergen a las sumas indicadas y c es una constante, entonces las series

∑a_n+b_n = A+B y ∑ca_n tambien convergen, como sumas.

1.- ∑ca_n= c∑a_n

2.- ∑a_n+b_n=∑a_n+∑b_n

3.- ∑a_n-b_n=∑a_n-∑b_n

Teorema de la Convergencia

Si la serie

es convergente, entonces el limite en el infinito es igual a cero.

Criterio de la divergencia:

Si el limite no existe o distinto de cero, entonces la serie es divergente. Este criterio esta basado en el teorema de la convergencia. Si el limite llegara a dar cero el criterio no es concluyente puesto que el teorema dice que las series convergente siempre dan cero mas no lo contrario. Hay algunas series divergentes que su limite en el infinito es igual a cero, como es el caso de las serie armónica.

Ejercicios.

Serie Telescópica o desplegable
:

Es aquella serie cuyo término de formación se puede representar por de la siguiente manera:

De una ecuación compleja en el denominador se lleva a dos más sencillas, por varios métodos:

Si es un polinomio por el proceso de fracción simple, si una función logarítmica por sus propiedades.

Suma parcial

Para la serie ∑a_n la n-esima suma parcial viene dada por:

S_n= a₁+a₂+a₃+ ………+a_n

Si la sucesión de parciales { S_n} converge a S, se dirá que la ∑a_n converge. Donde S es la suma de la serie. Si { S_n} diverge la serie también lo hará.

Criterio de la integral

Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integral impropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas, no negativas y decrecientes.