MATEMÁTICAS OPERATIVAS

PRIMERA PARTE

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

QUE ES UNA EXPRESIÓN RACIONAL

En general se dice que una expresión es racional si es una "fracciones que tienen polinomios en el numerador y denominador".

Recuerden que una expresión algebraica es aquella formada por números y letras.

Una expresión algebraica es racional si su parte literal (es decir las letras) no está afectada por un radical. (En caso de estar afectada la parte literal por un radical, será una expresión algebraica irracional).

Ejemplos de expresiones racionales son:

Aprenderemos a trabajar con ellas: simplificarlas y realizar diversas operaciones (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones)

La simplificación de expresiones algebraicas nos permite analizarlas más fácilmente y a obtener expresiones sencillas de operar en el caso de operaciones más complejas, y la forma más general de trabajar con ellas consiste en factorizar tanto el numerador como el denominador para poder simplificar usando las propiedades de los exponentes.

En los siguientes videos podrán ver algunos ejemplos:

SEGUNDA PARTE.

SOLUCION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS.

(tomado de: http://profbaptista.wordpress.com/2009/12/27/ecuaciones-algebraicas/)

Introducción

Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la palabraigual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática. Pero describir tal palabra puede no ser tan sencillo como parece. Cuando se escribe:

= 1

no significa que el símbolo de la izquierda coincide con el de la derecha. En cambio, significa que el símbolo complicado y el sencillo representan al mismo número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual en matemática.

A continuación se debe hacer otra diferencia en el uso del símbolo =. Cuando se escribe:

y

Se tienen dos expresiones indiscutiblemente distintas en mente. En el primer caso, se está haciendo una afirmación. Se afirma que no importa qué número representa x, la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha de la igualdad, representan al mismo número. Este no puede ser el significado que debe dársele al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la cual es: ¿Qué números puede simbolizar x para que ambos lados de la igualdad x 2 – 9 = 0 representen al mismo número?

Una igualdad que es verdadera para todos los valores de la variable, se llama identidad. Aquella que es válida sólo para algunos valores, recibe el nombre de ecuación condicional. Otra gran diferencia entre estas dos definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven (se encuentran soluciones). Ambas son operaciones muy importantes en matemática; sin embargo, parte de la segunda es la que se estudiará en este capítulo.

Son algunos ejemplos de identidades, las expresiones:

1) 6 + 11 – 5 = 12

2) x + 7 = 7 + x

3) ( x 2 – 1 ) 2 = x 4 – 2x 2 + 1

4) 2x + 4 – 5x = 1 – 3x + 3

Son algunos ejemplos de ecuaciones, las expresiones:

1) x – 15 = 12

2) x 2 + 7x = – 6

3)

4)

Cuando la variable se sustituye por un número específico, el resultado puede ser verdadero o falso. Si es cierto, el número constituye una solucióno raíz de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto solución de la ecuación. Un número que es una solución se dice que satisface la ecuación.

Una ecuación algebraica en la variable x es un enunciado en el que se dice que dos expresiones de x son iguales. Es costumbre llamar a la variable de una ecuación incógnita.

Algunas veces se puede resolver una ecuación por simple inspección. Se necesita poca imaginación y ningún recurso matemático para ver que la ecuación:

x – 5 = 10

tiene por raíz a x = 15. Por otro lado, resolver la ecuación:

x 2 – 11x + 10 = 0

Es ya un problema distinto. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario usar ciertos recursos. La estrategia general es modificar una ecuación paso a paso hasta llegar a una forma en que la solución sea inmediata. Desde luego, hay que tener cuidado al hacer las modificaciones para no cambiar las soluciones. En general, se usa el concepto deecuaciones equivalentes, que son ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, las tres ecuaciones siguientes son equivalentes:

4x – 20 = 0 4x = 20 x = 5

Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable. El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por ejemplo las ecuaciones:

4x – 20 = 0 es de primer grado

x 2 – 11x + 10 = 0 es de segundo grado

y 3 + 2y 2 – y – 2 = 0 es de tercer grado

t 4 – 5t 2 + 4 = 0 es de cuarto grado

Hay ecuaciones algebraicas en las que, existen términos que contienen expresiones racionales, como por ejemplo:

A este tipo de ecuación se le conoce como ecuación racional.

Finalmente, se presentan algunas ecuaciones que tienen la variable dentro uno o más radicales, llamadas ecuaciones irracionales. Por ejemplo,

En este capítulo se analizarán los siguientes tipos de ecuaciones algebraicas:

1.- De primer grado

2.- De segundo grado

3.- Racionales que conducen a ecuaciones de primer o segundo grado

4.- Irracionales

Ecuaciones algebraicas de primer grado

La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales y a ≠ 0. Es el tipo de ecuación más sencillo para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente elevada a la primera potencia.

Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta las siguientes reglas para modificar ecuaciones:

1.- Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, sus soluciones no varían.

2.- Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, no varían sus soluciones.

Ejemplo1:

Considérese la ecuación: 7x – 4 = 3x + 8

sumando 4 a ambos lados, se tiene: 7x = 3x + 12

restando 3x a ambos lados, se tiene: 4x = 12

dividiendo entre 4 a ambos lados, luego: x = 3

Se puede verificar que el valor encontrado, efectivamente es la solución de la ecuación. La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la

ecuación dada, y si es cierto, la ecuación se convertirá en una identidad; así, en el ejemplo anterior, haciendo x = 3 en la ecuación dada, resulta:

7x – 4 = 3x + 8

7(3) – 4 = 3(3) + 8

21 – 4 = 9 + 8

17 = 17 lo cual es cierto.

Ejemplo ilustrativo

Obtener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )

3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )

4) 4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )

5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3

6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b cualquier real diferente de cero

7)

8)

9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 )

Solución:

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

11y – 81 = 72y + 102 agrupando términos semejantes

11y = 72y + 102 + 81 sumando 81 a ambos lados

11y = 72y + 183 agrupando términos semejantes

11y – 72y = 183 restando 72y a ambos lados

– 61y = 183 agrupando términos semejantes

dividiendo entre – 61 ambos lados

2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )

5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6 eliminando los paréntesis

x – 1 = 5x + 17 agrupando términos semejantes

x = 5x + 18 sumando 1 a ambos lados

x – 5x = 18 restando 5x a ambos lados

– 4x = 18 agrupando términos semejantes

dividiendo entre – 4 y simplificando

3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )

2t – 10 = 3 – t – 4 eliminando los paréntesis

2t – 10 = – t – 1 agrupando términos semejantes

2t = – t + 9 sumando 10 a ambos lados

2t + t = 9 sumando t a ambos lados

3t = 9 agrupando términos semejantes

t=3 dividiendo entre 3 ambos lados

5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3

x – { 5 + 3x – [ 5x – x – 6 ] } = – 3 eliminando los paréntesis

x – { 5 + 3x – 5x + x + 6 } = – 3 eliminando los corchetes

x – 5 – 3x + 5x – x – 6 = – 3 eliminando los paréntesis

2x – 11 = – 3 agrupando términos semejantes

2x = 8 restando 11 a ambos lados

x=4 dividiendo entre 2 ambos lados

6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b ≠ 0

5bx + 25b 2 = 4b 2 – 2bx multiplicando

7bx + 25b 2 = 4b 2 sumando 2bx a ambos lados

7bx = – 21b 2 restando 25b 2 a ambos lados

x = – 3b dividiendo entre 7b ambos lados

7)

El mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, y 5 es 60. Multiplicando por 60 todos los términos de la ecuación, se tiene:

30(x-1)-20(x-2)-15(x-3)=-12(x-5)

30x – 30 – 20x + 40 – 15x + 45 = – 12x + 60 eliminando los paréntesis

– 5x + 55 = – 12x + 60 a agrupando términos semejantes

7x + 55 = 60 sumando 12x a ambos lados

7x = 5 restando 55 a ambos lados

x = 5 / 7 dividiendo entre 7 ambos lado

8)

El mínimo común múltiplo de 6 y 4 es 12. Multiplicando por 12 todos los términos de la ecuación, se tiene:

48 – 2( 10x + 1 ) = 48x – 3( 16x + 3 ) efectuando ÷ y ×

48 – 20x – 2 = 48x – 48x – 9 eliminando los paréntesis

46 – 20x = – 9 agrupando términos semejantes

– 20x = – 9 – 46 restando 46 a ambos lados

– 20x = – 55 agrupando términos semejantes

x = 11 / 4 dividiendo entre – 20 y simplificando

9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 ) eliminando los paréntesis, se tiene

6x + 15 = 6x + 12 restando 6x a ambos lados, se obtiene

15 = 12 lo cual es falso.

Como no hay valor que satisfaga la ecuación, entonces se dice que la solución de la ecuación es vacía cuyo símbolo es Ø.

Ecuaciones algebraicas de segundo grado

La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la forma:

ax 2 + bx + c = 0

donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Este tipo de ecuación se reconoce por tener la variable o incógnita elevada al cuadrado.

Una ecuación cuadrática tiene como máximo tres términos, es decir existen ecuaciones de segundo grado que poseen uno, dos y tres términos. Debido a lo expuesto anteriormente, se ve claramente que hay cuatro formas distintas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función a sus términos, que son:

1.- b = 0 y c = 0 ax 2 = 0

2.- b = 0 y c ≠ 0 ax 2 + c = 0

3.- b ≠ 0 y c = 0 ax 2 + bx = 0

4.- b ≠ 0 y c ≠ 0 ax 2 + bx + c = 0

Estudiando caso por caso, se tiene:

Primer caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b = 0 y c = 0, entonces

ax 2 = 0; la solución es trivial, pues el único número que la satisface es x = 0.

Ejemplos: 1) 3x 2 = 0 2) =0 3) – 3x 2 = 0

Segundo caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b = 0 y c ≠ 0, entonces

ax 2 + c = 0. En cuanto a a y c, se presenta dos posibilidades, que son:

1.- a y c tienen igual signo

2.- a y c tienen diferente signo

1.- Si a y c tienen igual signo, la solución no pertenece a los números reales, pues la suma algebraica de dos términos (ax 2 + c) es diferente de 0. La solución pertenece a los números complejos, y es:

Ejemplo ilustrativo

Resolver las ecuaciones:

1) 5x 2 + 10 = 0

2) – 7x 2 – 7 = 0

Solución:

1) 5x 2 + 10 = 0

Despejando la x, se tiene la solución compleja:

La solución es:

2) – 7x 2 – 7 = 0

Despejando la x, se tiene la solución compleja:

la solución es:

2.- Si a y c tienen diferente signo, la solución pertenece a los números reales, y es:

Ejemplo ilustrativo

Resolver las ecuaciones:

1) 4x 2 – 16 = 0

2) 5 – 3x 2 = 0

Solución:

1) 4x 2 – 16 = 0

Dividiendo entre 4 toda la ecuación, se obtiene: x 2 – 4 = 0

Factorizando la diferencia de cuadrados: ( x – 2 )( x + 2 ) = 0

Aquí vale la pena preguntarse ¿Cuándo el producto dos números da 0? La respuesta es sencilla, simplemente cuando uno de ellos es 0, es decir:

x – 2 = 0 ; o x + 2 = 0

Si x – 2 = 0 ; o x = 2

Si x + 2 = 0 ; o x = – 2

La solución de la ecuación 4x 2 – 16 = 0 es el conjunto , , que puedeescribirse de la siguiente forma .

2) 5 – 3x 2 = 0

Multiplicando por ( – 1 ) la ecuación, se obtiene: 3x 2 – 5 = 0

La nueva presentación es similar al ejemplo anterior, que puede resolverse de la siguiente manera:

Sumando 5 a ambos lados de la igualdad 3x 2 = 5

Dividiendo entre 3 la ecuación x 2 =

Aquí vale la pena preguntarse ¿Qué números elevados al cuadrado dan

? La respuesta es sencilla, simplemente la raíz cuadrada de

y recordando que cualquier número elevado al cuadrado resulta positivo, entonces la solución de la ecuación 5 – 3x 2 = 0 es el conjunto

. La ecuación tiene dos valores de x que la satisfacen, que son y

Tercer caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c = 0, entonces ax 2 + bx = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión, factorizando la misma resulta:

ax 2 + bx = 0 → x( ax + b ) = 0

y para que el producto de dos números valga 0, es necesario que uno de ellos sea 0, por consiguiente x = 0 o ax + b = 0

la primera solución es x = 0 y la segunda se obtiene de resolver la ecuación de primer grado: ax + b = 0

restando b a ambos lados, se tiene ax = – b

dividiendo entre a x = – b / a

Ejemplo ilustrativo

Resolver las ecuaciones:

1) 9x 2 + 36x = 0

2) 5x 2 – 19x = 0

Solución:

1) 9x 2 + 36x = 0

Sacando factor común x, x( 9x + 36 ) = 0

Luego x = 0 O 9x + 36 = 0

Por consiguiente la soluciones son x = 0 y x = – 4

2) 5x 2 – 19 = 0

x( 5x – 19 ) = 0 x = 0 y x = 19 / 5

Cuarto caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces

ax 2 + bx + c = 0. Para resolver ecuaciones de este tipo, se requiere de un estudio especial, cuyo procedimiento de describe a continuación:

Sea ax 2 + bx + c = 0, se resolverá mediante la formula:

Estos valores de x son las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Se ha obtenido así la fórmula cuadrática que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, simplemente sustituyendo los valores de a, b y c en dicha fórmula.

Ejemplo ilustrativo

Aplicando la fórmula cuadrática resolver las siguientes ecuaciones:

1) 6x 2 – 11x – 10 = 0

2) x 2 – 11x + 10 = 0

3) 4x 2 – 4x + 1 = 0

4) x 2 – 5x + 9 = 0

Solución:

1) 6x 2 – 11x – 10 = 0

Al sustituir por a = 6, b = – 11 y c = – 10 en

El conjunto de las soluciones es

***2) x 2 – 11x + 10 = 0

Al sustituir por a = 1, b = – 11 y c = 10 en

resulta:

El conjunto de las soluciones es

Hay algunas ecuaciones cuadráticas que fácilmente se pueden resolver factorizando, como es el caso de x 2 – 11x + 10 = 0.

Se presenta a continuación otra manera para resolverla:

Sea x 2 – 11x + 10 = 0 ( x – 10 )( x – 1 ) = 0

Luego x = 10 y x = 1

3) 4x 2 – 4x + 1 = 0

Esta expresión de segundo grado es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que su solución se facilita factorizando

4x 2 – 4x + 1 = 0 → ( 2x – 1 ) 2 = 0

por consiguiente 2x – 1 = 0 →

4) 5x 2 + 8x + 5 = 0

Al sustituir por a = 5, b = 8 y c = 5 en

resulta:

Obsérvese que no tiene solución real. Usualmente se acostumbra decir que no tiene solución, y es porque se trabaja en los números reales. Lo que se debe decir es que no tiene solución en el campo de los números reales, debido a que en el campo de los números complejos si tiene solución. Recuérdese, lo siguiente:

= y como i = , se tiene: = 6i

El conjunto de soluciones es:

Finalmente, se mostrará cómo obtener información acerca del carácter delas raíces de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla. En la fórmula cuadrática :, la cantidad subradical recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El carácter de las raíces puede determinarse obteniendo el valor del discriminante, por los que:

1.- Si =0 , la ecuación tiene dos raíces reales e iguales; es decir tiene una raíz doble

2.- Si >0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes

3.- Si < 0, la ecuación no tiene solución real; las raíces son imaginarias y diferentes; son complejos conjugados entre sí.

Ejemplo ilustrativo

Determinar el carácter de las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 4x 2 – 4x + 1 = 0

2) x 2 – 11x + 10 = 0

3) 5x 2 + 8x + 5 = 0

Solución:

1) 4x 2 – 4x + 1 = 0

= ( – 11 ) 2 – 4.1.10 = 121 – 40 = 81 > 0

La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes como se demostró en el ejemplo anterior numeral 2, y cuya solución fue

3) 5x 2 + 8x + 5 = 0

= ( 8 ) 2 – 4.5.5 = 64 – 100 = – 36 < 0

La ecuación tiene dos raíces imaginarias y diferentes como se demostró en el ejemplo anterior numeral 4, y cuya solución fue

Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones de primer y segundo grado

Una ecuación racional es aquella en la que aparecen términos que son expresiones racionales. Son ejemplos de ecuaciones racionales:

Ejemplo ilustrativo

Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Solución:

1)

Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir que x ≠ 0.

El m.c.m. de: 8, 2x y x es 8x.

Multiplicando por 8x todos los términos de la ecuación:

restando 4 a ambos lados

3x = 12 dividiendo entre 3 ambos lados

x = 4

Nota importante: Al resolver una ecuación racional, se debe comprobar que el resultado obtenido satisface dicha ecuación.

Comprobación:

2)

Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir que z ≠ 4 y z ≠ – 6. El m.c.m. de: (4 – z) y (z + 6) es (4 – z).(z + 6). Multiplicando por (4 – z).(z + 6) todos los términos de la ecuación:

z + 6 + 3(4 – z) = 0

z + 6 + 12 – 3z = 0 eliminando el paréntesis

18 – 2z = 0 agrupando términos semejantes

– 2z = – 18 restando 18 a ambos lados

z = 9 dividiendo entre – 2 ambos lados

Comprobación:

0 = 0

3)

Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir que x ≠ – 2 y x ≠ – 4.

El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 4) es (x + 2).(x + 4).

Multiplicando por (x + 2).(x + 4) todos los términos de la ecuación:

( x – 2 ).( x + 4 ) = ( x – 4 ).( x + 2 )

x 2 + 2x – 8 = x 2 – 2x – 8 efectuando los productos notables

2x – 8 = – 2x – 8 restando x 2 a ambos lados

2x = – 2x sumando 8 a ambos lados

4x = 0 sumando 2x a ambos lados

x = 0 dividiendo entre 4 ambos lados

Comprobación:

– 1 = – 1

4)

En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 2 y x ≠ – 1.

El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 1) es (x + 2).(x + 1).

Multiplicando por el m.c.m. todos los términos de la ecuación:

( 3x + 1 ).( x + 1 ) = ( 3x – 2 ).( x + 2 )

3x 2 + 4x + 1 = 3x 2 + 4x – 4 efectuando los productos notables

4x + 1 = 4x – 4 restando 3x 2 a ambos lados

1 = – 4 restando 4x a ambos lados

Lo cual es falso, por lo tanto no hay valor de x que satisfaga dicha ecuación, luego la solución es Ø.

5)

En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 4 y x ≠ 4.

Multiplicando por el m.c.m., que es ( x + 4 )( x – 4 ), todos los términos de la ecuación:

5( x – 4 ) + 3( x + 4 ) = 24

5x – 20 + 3x + 12 = 24 efectuando los productos

8x – 8 = 24 agrupando términos semejantes

8x = 32 sumando 8 a ambos lados

x = 4 dividiendo entre 8 ambos lados

Comprobación:

El valor obtenido no satisface la ecuación, pues la división entre 0 no esta definida. Además, este valor se ha descartado al comenzar a resolver el ejercicio. Por consiguiente, la solución es Ø.

6)

En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ 0 y x ≠ – 1.

Multiplicando por el m.c.m., que es x( x + 1 ), todos los términos de la ecuación:

( 2x – 5 )x = 3 efectuando el × y restando 3 a ambos lados

2x 2 – 5x – 3 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado

Para que estos dos valores sean solución, debe realizarse su verificación en la ecuación original.

Comprobación:

Para x = 3

x = 3 la satisface

Para x = – 1 / 2:

x = – 1 / 2 la satisface

El conjunto de las soluciones es

Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical. Son ejemplos de ecuaciones irracionales:

Para resolver una ecuación irracional se debe tener en cuenta lo siguiente: Si A y BA = B es una ecuación algebraica, y su conjunto de soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación A n = B nn es cualquier entero positivo. son dos expresiones algebraicas, entonces donde

Ejemplo:

La ecuación: x = 10

tiene por conjunto de soluciones { 10 }. Si se eleva al cuadrado ambos lados se obtiene: x 2 = 100

tiene por conjunto de soluciones { ± 10 }. El conjunto solución de la primera ecuación es subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda.

Ejemplo ilustrativo

Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Solución:

1)

restando x a ambos lados

elevando al cuadrado ambos miembros

resolviendo las potencias

agrupando términos semejantes

( x – 10 )( x – 2 ) = 0 factorizando

por consiguiente: x = 10 o x = 2

Comprobación:

Para x = 2

5 = 5 es solución

Para x = 10

15 = 5 es falso

No satisface la ecuación original, y se le denomina solución extraña, la cual se introdujo cuando se elevaron ambos miembros al cuadrado

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 2 }.

2)

Sumando a ambos lados

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Agrupando términos semejantes

Elevando al cuadrado ambos miembros

Dividiendo entre 4

Comprobación:

1 = 1 es solución

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 1 }.

3)

El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar 0, por consiguiente no existe valor de x que satisfaga la ecuación, en consecuencia la solución es Ø

4)

Elevando a la cuatro ambos miembros

Resolviendo las potencias

Agrupando términos semejantes

Dividiendo entre 2 ambos miembros

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Sumando 2 a ambos miembros

Comprobación:

es solución

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 4902 }.

5)

Multiplicando por el m.c.m que es

Resolviendo los productos

Elevando al cuadrado ambos miembros

x 2 – 4x + 4 = x Resolviendo las potencias

x 2 – 5x + 4 = 0 Restando x a ambos miembros

( x – 4 )( x – 1 ) = 0 Factorizando

Por consiguiente x = 4 o x = 1

Comprobación:

Para x = 4

2 – 1 = 1 → 1 = 1 es raíz

Para x=1:

1 – 2 = 1

– 1 = 1 no es raíz

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 4 }.

6)

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Sumando a ambos lados

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Agrupando términos semejantes

Por consiguiente, x = 0

Comprobación:

2 = 2 es raíz

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 0 }.

Ejercicios propuestos

Encontrar el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

1) 1 – 3(2x – 4 ) = 4( 6 – x ) – 8

2) 14 – 12x + 39x – 18x = 256 – 60x – 657x

3) 16y – [ 3y – ( 6 – 9y ) ] = 30y + [ – ( 3y + 2 ) – ( y + 3 ) ]

4) 10( m – 9 ) – 9( 5 – 6m ) = 2( 4m – 1 ) + 5( 2m + 1 )

5) ( w + 1 )( w – 2 ) – ( 4w – 1 )( 3w + 5 ) – 6 = 8w – 11( w – 3 )( w + 7 )

6) ( 4 – 5x )( 4x – 5 ) = ( 10x – 3 )( 7 – 2x )

7)

8)

9)

10) a( y – a ) – 2b( y – 3b ) = ab

11)

12)

13) 4x 2 – 9 = 0

14) x 2 – 3x – 10 = 0

15) x 2 + 6x + 9 = 17

16) m 2 – 5m = 6 17) 3x 2 – 7x + 2 = 0

18) x 2 = 3x 19) 25x 2 + 2 = 15x

20) 2x 2 – 5x + 1 = 0 21) 2x 2 = 3x + 1

22) ( x + 4 ) 2 = 2x( 5x – 1 ) – 7( x – 2 )

23) ( 5x – 4 ) 2 – ( 3x + 5 )( 2x – 1 ) = 20x( x – 2 ) + 27

24) ( x + 2 )( x – 1 ) – ( x + 4 )( 2x – 3 ) + 14 = x

25) x 2 + 3x + 4 = 0

26) 3x( x – 2 ) – ( x – 6 ) = 23( x – 3 )

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

Respuestas:

1) { – 3 / 2 } 2) { 1 / 3 }

3) { 1 / 2 } 4) { 3 }

5) { 13 } 6) { 1 / 35 }

7) { 19 } 8) { – 4 }

9) { – 1 / 2 } 10) y = a + 3b con a ≠ 2b

11) x = 3a – 5b con a ≠ – b 12) x = 2( a + b ) con a ≠ b

13) { ± 3 / 2 } 14) { – 2 , 5 }

15) 16) { – 1 , 6 }

17) { 1 / 3 , 2 } 18) { 0 , 3 }

19) { 1 / 5 , 2 / 5 } 20)

21) 22) { – 1 / 9 , 2 }

23) { – 1 , – 6 } 24) { – 8 , 3 }

25) No tiene solución real,

26) { 5 } 27) { 1/2 }

28) { 8 } 29) { – 5 }

30) { – 42/11 , 2 } 31) { 3 }

32) { 3 / 4 , 6 } 33) { 5 / 2 , 4 }

34) { – 5 / 9 } 35) { 4 / 3 }

36) { 4 } 37) { 5 }

38) { 4 } 39) { 3 / 2 }

40) { – 4 , 2 } 41) { 2 }

42) { 4 } 43) { }

44) { – 2 / 3 , 3 } 45) { }

46) { 0 } 47)

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

En el siguiente enlace encontrarán los metodos de solución a este tipo de sistemas.

http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm

Ecuaciones con Valores Absolutos

Objetivo de Aprendizaje

· Encontrar todas las soluciones posibles a ecuaciones con valores absolutos que tienen variables y términos variables.

Introducción

El valor absoluto describe la magnitud de un número o la distancia entre puntos, pero ignora la información del signo del número o la dirección de una distancia. Un valor absoluto positivo puede representar ya sea un valor original positivo o negativo. Cuando simplificamos o resolvemos ecuaciones que incluyen expresiones con valores absolutos, debemos considerar ambas posibilidades.

Las expresiones con valores absolutos pueden incluir no sólo números, sino también variables. Esto añade otro detalle qué tomar en cuenta al momento de evaluar dichas expresiones.

El Valor Absoluto de Variables Aisladas

Veamos la ecuación simple |x| = 3. Para resolver una ecuación como ésta, con una variable dentro de barras de valor absoluto, debemos reconocer los dos posibles casos y resolver cada uno de ellos.

La expresión dentro de las barras de valor absoluto podría ser positiva. En tal caso, equivale al valor absoluto: x = 3.

O la expresión podría ser negativa, En tal caso, el valor original de la expresión es el opuesto del valor absoluto: -(x) = 3. Para obtener el valor de x, podemos multiplicar cada lado de la ecuación por -1 y obtenemos: x = -3.

Por lo que resolver la ecuación para x nos da más de una respuesta correcta. Éste es generalmente el caso para ecuaciones que incluyen el valor absoluto de una variable: tienen más de una solución.

Indicamos esto numéricamente haciendo una lista de todas las respuestas correctas, separadas por una coma. En éste ejemplo |x| = 3, la solución es x = -3, 3.

Para mostrar las soluciones en una recta numérica, ponemos un punto en ambas posiciones.

¿Cuál de las siguientes soluciones es la correcta para |x| = 8?

A) x = 8, -8

B) x = -8

C) x = 8

D) x = -(-8), +(8)

Mostrar/Ocultar la Respuesta

El Valor Absoluto de Términos Variables

Una expresión que está dentro de las barras de valor absoluto puede ser más complicada que una simple variable, Cuando éstas expresiones incluyen otros valores y operaciones, debemos tener mucho cuidado, especialmente cuando resolvemos sus opuestos.

Para resolver |-2x| = 8, por ejemplo, debemos considerar dos posibilidades — que la expresión dentro de las barras de valor absoluto, -2x, sea positiva o negativa.

Si la expresión -2x es positiva, entonces

-2x = 8

Para resolver x, podemos dividir entre -2 cada lado de la ecuación y obtenemos

x = -4

Si la expresión -2x es negativa, entonces

-(-2x) = 8

Para resolver x, multiplicamos -2x por -1 y obtenemos

2x = 8

Luego dividimos cada lado de la ecuación entre 2 para obtener

x = 4

Entonces, la solución de |-2x| = 8 es

x = -4, 4

Nota lo cuidadosos que debemos ser con los signos positivo y negativo cuando trabajamos con valores absolutos en una expresión algebraica. No podemos distraernos cuando vemos signos negativos dentro de las barras de valor absoluto. Debemos también resolver para el caso en que toda la expresión dentro de las barras de valor absoluto es positiva, y también, para el caso de que sea negativa.

¿Cuál de las gráficas representa la solución para |2n| = 4?

A)

B)

C)

D)

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Correcto. n = -2, 2.

B) Incorrecto. -4 y 4 son las posibles soluciones de la expresión 2n, no los valores positivos de n. La gráfica correcta muestra puntos en -2 y 2.

C) Incorrecto. 4 es el valor absoluto de la expresión 2n. n = -2, 2. La gráfica correcta muestra puntos en -2 y 2.

D) Incorrecto. -2 es una solución posible de |2n| = 4. Pero 2 también es una solución. Ambas posibilidades deben ser consideradas. La gráfica correcta muestra puntos en -2 y 2.

Extraido de:

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U02_L2_T2_text_final_es.html

ECUACIÓN EXPONENCIAL

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial debemos tener en cuenta que:

y que si

También debemos recordar las propiedades de las potencias.

a⁰ = 1

a¹ = a

a^m • aⁿ = a^m+n

a^m : aⁿ = a^{m − n}

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

aⁿ • bⁿ = (a · b)ⁿ

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

Para resolver una ecuación exponencial vamos a seguir los siguientes pasos:

Uno: Si los dos miembros de la igualdad tienen distinta base, debemos reducirlos a la misma base.

Ejemplo:

Dos: Una vez que tenemos la misma base en los dos miembros, igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación:

.

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 29_2010

Un problema con ecuación exponencial

Sea que tengamos

Reducimos a la misma base

El primer término es una potencia elevada a potencia, y lo expresamos

Esta ecuación exponencial es una ecuación de segundo grado. Para resolverla, es necesario el uso de incógnitas auxiliares. Así el problema se simplifica y es fácil comprobarlo.

La incógnita auxiliar para esta ecuación exponencial es:

A continuación se reemplaza con el valor de la incógnita auxiliar en la ecuación y se resuelve.

z² + z = 72

z² + z − 72 = 0

Esta ecuación podría resolverse mediante la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, pero como corresponde al caso de factorización de un trinomio perfecto es conveniente por su rapidez utilizar dicha factorización. Se debe recordar que para hacerla hay que buscar dos números que multiplicados den –72 y que sumados, al mismo tiempo, den 1 (positivo). Estos números son: 9 y –8.

Factorizando queda:

(z + 9) (z − 8) = 0

Luego se igualan ambos paréntesis a cero; se obtienen dos resultados y se elige el que sea correcto.

z + 9 = 0 z − 8 = 0
z = −9 z = 8

De los dos resultados, el correcto es z = 8, porque 2³ = 8.

(Para resolver cualquier ecuación exponencial siempre deben igualarse las bases; en este ejercicio todas las bases deben ser 2).