TOMADO Y ADAPTADO DE : https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado-incompletas.html

Vamos a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos. Recordemos que una ecuación de segundo grado, completa o no, puede tener, a lo sumo, dos raíces (reales) distintas.

Aquí podemos acceder a la sección de ecuaciones de segundo grado completas.

1. Ecuación Incompleta

forma general de ecuaciones de segundo grado completas

Una ecuación de segundo grado puede escribirse en la forma

forma general de ecuaciones de segundo grado completas

Decimos que la ecuación es completa cuando ninguno de los coeficientes, a,b y c es cero, es decir, cuando

coeficientes de completa

Y decimos que

La ecuación es incompleta cuando alguno de los coeficientes b ó c es cero.

Es decir, es incompleta cuando

$b = 0 ó c = 0$

Nota: no consideramos el caso en que a = 0 ya que, entonces, la ecuación no es de segundo grado.

Por tanto, una ecuación incompleta toma alguna de las siguientes formas

tipos de ecuaciones incompletas

2. Obtención de las Soluciones (según los tipos)

tipos de ecuaciones incompletas

Vamos a ver cómo obtener las soluciones (raíces) en cada uno de los tres tipos de ecuaciones:

Si es de la forma

Tenemos la única solución (raíz doble) $x = 0$ .
Si es de la forma

Despejando tenemos que

Haciendo la raíz cuadrada, obtenemos las dos raíces

Pero es necesario que el radicando (interior de la raíz) sea no negativo. Si no es así, no existen soluciones (reales).
Si es de la forma

Factorizamos

Como es un producto cuyo resultado es 0, alguno de los dos factores tiene que ser 0. Por tanto, tenemos las siguientes posibilidades (raíces):

Es decir, una solución es

$x = 0$

y la otra solución es

$x = - \frac{b}{a}$

Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

Nota: en la resolución de las ecuaciones mostramos la gráfica de la parábola que representa la ecuación. Es decir, la función

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Como las soluciones de la ecuación son los puntos donde $f$ es 0, los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas están en los puntos cuya primera coordenada es la solución de la ecuación y la segunda coordenada es 0. Además, si $a > 0$ , entonces la parábola tiene forma de U; si no, tiene forma de U invertida.

Ecuación 1

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Despejamos x y hacemos la raíz cuadrada (no olvidemos el doble signo)

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

La ecuación tiene dos raíces y la podemos escribir en forma factorizada como

3 (x + 3) (x - 3) = 0

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

Ecuación 2

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Factorizamos la expresión y nos queda un producto de x por una ecuación.

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

La ecuación tiene dos raíces y la podemos escribir en forma factorizada como

4 x (x - \frac{1}{4}) = 0

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

Ecuación 3

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Factorizamos la expresión y nos queda un producto de x por una polinomio de primer grado. Por tanto, el producto es 0 si uno de los dos factores es 0:

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

La ecuación tiene dos raíces y la podemos escribir en forma factorizada como

2 x (x + 4) = 0

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

Ecuación 4

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Agrupamos los monomios según su parte literal. Factorizamos la expresión y nos queda un producto de x por un polinomio de primer grado. Por tanto, el producto es 0 si x = 0 o el polinomio es 0:

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

La ecuación tiene dos raíces y la podemos escribir en forma factorizada como

8 x (x - \frac{3}{8}) = 0

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

En esta sección vamos a calcular las raíces (soluciones) de ecuaciones de segundo grado completas. Para ello usaremos la fórmula cuadrática, de la que hablaremos seguidamente.

La obtención de las raíces nos permitirá descomponer o factorizar la ecuación como producto de dos polinomios de grado 1 (en caso de poder hacerlo).

        
            1. Ecuaciones completas

forma general de ecuaciones de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2,

es decir, aquella en la que el grado mayor de los monomios es 2 (es decir, su

parte literal es x² ).

Puesto que la ecuación es de grado 2, tenemos, a lo sumo, 2

raíces (soluciones) distintas.

Toda ecuación de segunda grado se puede escribir o reducir a una ecuación

equivalente cuya forma sea:

forma general de ecuaciones de segundo grado completa

Si ninguno de los coeficientes, a,b y c es cero, es decir,

coeficientes de completa

diremos que la ecuación es completa. Si no (si alguno es 0), diremos que

es incompleta.

                    
                        2. Soluciones y Discriminante

soluciones de la completa

discriminante

Ver Texto

Las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado (en la forma anterior) vienen dadas por

la fórmula cuadrática:

soluciones de la completa

Llamamos discriminante, Δ, de la ecuación al radicando de la fórmula anterior, es decir,

discriminante

Se cumple que

Si Δ es 0, la ecuación tiene una única solución (de multiplicidad 2)
Si Δ es menor que 0, no existen soluciones (reales)
Si Δ es mayor que 0, existen dos soluciones (reales) distintas(de multiplicidad 1).

                    
                        3. Factorización

Ejemplo:

$x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1) (x + 1)$

Ver Texto

Factorizar una ecuación consiste en expresarla como un producto de polinomios más

simples, esto es, como un producto de polinomios de grado menor.

Ejemplo:

$x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1) (x + 1)$

Método para factorizar

Supongamos que A y B son las dos soluciones de la ecuación

Entonces, podemos escribir el polinomio anterior (la parte izquierda) como
Si la única solución es A (por tanto, con multiplicidad 2), la factorización queda como
Si no hay soluciones, no podemos factorizar.

                    
                        4. 10 ecuaciones resueltas

Ecuación 1

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

El discriminante de la ecuación es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 =$

$= 4 - 4 = 0$

Por tanto, la ecuación tiene una solución real doble.

Aplicamos la fórmula:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Luego la solución doble es x = -1.

Una factorización de la ecuación es

$(x + 1)^{2} = 0$

Ecuación 2

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

Escribimos la ecuación en la forma general:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

El discriminante es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) =$

$= 1 + 8 = 9$

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces simples.

Aplicamos la fórmula para obtenerlas:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Las soluciones son x = -1, 2.

y una factorización es

$(x + 1) (x - 2) = 0$

Ecuación 3

$ecuación de segundo grado completa con fracciones 2x^2 -10/3 x + 4/3 = 0$

Solución

Multiplicamos por 3 la ecuación para evitar las fracciones:

$multiplicamos por 3 toda la ecuación para evitar las fracciones$

El discriminante de la ecuación es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= (- 10)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 4 =$

$= 100 - 96 = 4$

Como Δ > 0, la ecuación tiene dos raíces simples.

Aplicamos la fórmula:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Las soluciones son

$x = 1, \frac{2}{3}$

y una factorización es

$(x - 1) (x - \frac{2}{3}) = 0$

Si queremos tener una igualdad entre los polinomios, tenemos que escribir el coeficiente director de

la ecuación original en la factorización:

$2 x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{4}{3} = 2 (x - 1) (x - \frac{2}{3})$

Ecuación 4

$ecuación de segundo grado completa con fracciones x^2 -7/6 x +1/3 = 0$

Solución

Multiplicamos la ecuación por 6 toda la ecuación para evitar las fracciones:

$multiplicamos por 6 toda la ecuación para evitar las fracciones$

El discriminante de la ecuación es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= (- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2 =$

$= 49 - 48 = 1$

Como el discriminante es mayor que 0, la ecuación tiene dos raíces simples. Aplicamos la fórmula

para obtenerlas:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Las soluciones son

$x = \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$

y la factorización es

$(x - \frac{2}{3}) (x - \frac{1}{2}) = 0$

Ecuación 5

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

El discriminante es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 =$

$= 1 - 4 = - 3$

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales y, por tanto, no podemos

factorizarla.

Problema Abierto

Encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado siendo a ≠ 0

$a x^{2} - x - a^{2} x + a = 0$

¿Las encuentras? Puedes participar en nuestro foro.

Ecuación 6

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

Operamos en la ecuación para escribirla en su forma general:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

El discriminante es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18) =$

$= 49 + 72 = 121$

Como Δ > 0, la ecuación tiene dos raíces simples.

Calculamos las raíces:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Por tanto, las soluciones son

$x = - 2, 9$

y una factorización es

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Ecuación 7

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

La ecuación está escrita en la forma general y su discriminante es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) =$

$= 4 + 4 = 8$

Como Δ > 0, existen dos raíces y son simples.

Calculamos las raíces:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} =$

$= \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} =$

$= 1 \pm \sqrt{2}$

Por tanto, tenemos las soluciones :

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Una factorización de la ecuación es

$(x - 1 - \sqrt{2}) (x - 1 + \sqrt{2}) = 0$

Ecuación 8

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

Escribimos la ecuación en la forma general. Recordemos usar la fórmula del binomio

(cuadrado de la resta):

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Su discriminante es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) =$

$= 4 + 12 = 16$

La ecuación tiene dos raíces simples ya que el discriminante es positivo.

Aplicamos la fórmula para obtenerlas:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Las soluciones son

$x = 3, - 1$

y una factorización es

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Ecuación 9

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

El discriminante es

$Δ = b^{2} - 4 a c =$

$= 7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) =$

$= 49 - 20 = 29$

Como Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones simples.

Como Δ = 29, las soluciones de la ecuación será un poco complejas ya que la raíz de 29 no es exacta.

Así pues, dejaremos la raíz:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

una factorización de la ecuación es

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Nota: hemos multiplicado por el coeficiente director de la ecuación.

Ecuación 10 (dificultad alta)

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

Solución

Calificamos esta ecuación como difícil por la presencia de un parámetro: a. Pero procederemos como

es habitual, la diferencia es que no sabemos qué número es a y, además, no tenemos que confundir

este parámetro con el de la fórmula cuadrática:

Supondremos que a > 0 para evitar el uso de valores absolutos.

Escribimos la ecuación en la forma general:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

El discriminante es

$Δ = (- 2 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 a^{2}) =$

$= 4^{2} + 16 a^{2} =$

$= 20 a^{2}$

El discriminante sólo puede ser positivo o cero (es cero cuando a = 0).

Como hemos supuesto que a es positivo, la ecuación tiene dos raíces simples.

Calculamos las raíces:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Por tanto, una factorización es

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

EL NUEVO MÉTODO DE PO SHEN LOH, PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS.

Tomado de:

https://ecuaciones.online/de-segundo-grado/metodo-de-po-shen-loh/

Existe un nuevo método para resolver ecuaciones de segundo grado de forma rápida, siempre que el coeficiente de la variable al cuadrado sea uno, es decir, de la forma $x^{2}+bx+c=0$ .

Desde los tiempos de los babilonios (y ya han pasado más de 4000 años) las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado se venían resolviendo usando básicamente la famosa fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

Pero desde finales del 2019 tenemos una alternativa, el método es del profesor chino afincado en Estados Unidos, Po-Shen Loh. Esta forma de resolver las ecuaciones de 2º grado es rápido y fácil de entender. Como vas a ver, son cuatro los pasos en los que consiste. Y ahí los tienes:

Pasos

1) Para cualquier ecuación cuadrática del tipo $x^{2}+bx+c=0$ las soluciones están dadas por:

$x_{1}=-b/2+u$ y $x_{2}=-b/2-u$ ,

en donde $u$ es un número a determinar.

2) Multiplicamos entre sí estas dos soluciones y las igualamos al valor del coeficiente independiente de la ecuación de segundo grado, $c$ :

$((- b / 2) + u) ((- b / 2) - u) = c$
3) Resolvemos esta ecuación, hallando el valor de $u$ :

$(-b/2)^{2}-u^{2}=c$ $\leftrightarrow$ $u=\pm \sqrt{(-b/2)-c}$
4) Cogemos la solución de la raíz positiva, $\sqrt{(-b/2)-c}$ y la sustituimos en $x_{1}=-b/2+c$ y $x_{2}=-b/2-c$ y listo.

Ejercicio resuelto usando Po-Shen Loh

Resuelve $x^{2}-6x-8=0$

1) Esta ecuación cuadrática va a tener las siguientes soluciones:

$x_{1}=6/2+u$ y $x_{2}=6/2-u$ ,

es decir:

$x_{1}=3+u$ y $x_{2}=3-u$
en donde tenemos que encontrar el valor de $u$ .

2) Multiplicamos entre sí estas dos soluciones y las igualamos al valor del coeficiente independiente de la ecuación de segundo grado, $8$ :

$(3 + u) (3 - u) = 8$
3) Operando hallamos $u$ :

$3^{2}-u^{2}=8$ $\leftrightarrow$ $u=\pm \sqrt{9-8}= \pm 1$
4) Nos quedamos con la parte positiva de la raíz, $u = 1$ y la sustituimos en $x_{1}=3+u$ y $x_{2}=3-u$ , obteniendo finalmente:

$x_{1}=4$ y $x_{2}=2$

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

TOMADO DE

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ecuaciones/problemas-de-ecuaciones-de-segundo-grado-1-2.html

1. Encontrar el valor k

Determinar k de modo que en la ecuación x² − kx + 36 = 0 las raíces sean iguales.

Para que las dos raíces sean iguales, el discrimnante (b² − 4ac) tiene que ser igual a cero

b² − 4ac = 0

k² − 4 · 36 = 0 k² = 144

Valor de k para satisfacer la ecuación cuadrática

2. Encuentra los valores que se te piden

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x² − Sx + P = 0

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

3. Ejercicio para calcular edades

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años.

Calcula la edad de Pedro.

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años.

Calcula la edad de Pedro.

Designamos las variables para el ejercicio:

Edad actual x

Edad hace 13 años x − 13

Edad dentro de 11 años x + 11

Escribimos la ecuación correspondiente:

Traducción del ejercicio a la forma algebraica

Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

Simplificación de la ecuación

Valores que satisfacen la ecuación

x = 7, no es una solución válida porque entonces qué edad tendría hace 13 años

Edad actual 21 años

4. Calculo de un terreno.

Para hallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca.

Calcula las dimensiones de la finca.

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca.

Calcula las dimensiones de la finca.

Figura cuya área representa una ecuación cuadrática

Semiperímetro 55

Base x

Altura 55 − x

El área es igual base por altura

x · (55 − x) = 750

Quitamos paréntesis

x² − 55x + 750 = 0

x = 25 x = 30

Las dimensiones de la finca son:

base = 30 m altura = 25 m

base = 25 m altura = 30 m

5. Rectángulos proporcionales

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.

Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.

Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

Ejercicio sobre proporcionalidad de triángulos

1er lado (base) 3x

2º lado (altura) 4x

3er lado 5x

Aplicamos la fórmula del área de un triángulo

Sustitución de valores en la formula del área del triangulo

Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

Simplifican y resultado de la variable x

−2 no es solución porque un lado no puede tener una longitud negativa

1er lado 6 m

2º lado 8 m

3er lado 10 m

6. Calcula el área del jardín

Un jardín rectangular de 50m de largo por 34m de ancho está rodeado por un camino
de arena uniforme.

Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540m².

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino
de arena uniforme.

Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

Rectángulo cuya área representa una ecuación de 2do grado

Llamaremos x a la anchura del camino

540 será igual al área total del conjunto menos el área del jardín

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

Quitamos paréntesis, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo por 4 en los
dos miembros

4x² + 168x − 540 = 0 x² + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m.

−45 no es una solución porque las distancias han de ser positivas.

7. Criterio de Semejanza en rectángulos

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que
es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

Ejercicio de dimensiones de un triangulo conociendo la diagonal

(4x)² + (3x)² = 75²

25x² = 5625

x² = 225 x = 15

Base 4 · 15 = 60 m

Altura 3 · 15 = 45 m

8. Calcula el numero que se te indica

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 25/6

Número: x

Inverso del número: 1/x

Traducción del ejercicio a su forma algebraica

Tenemos una ecuación racional, en primer lugar tenemos que quitar denominadores

Mínimo común múltiplo

Simplificación a la forma cuadrática de la ecuación

Formula general para resolver ecuaciones de 2do grado

El número pedido es 5, pues 1/5 no es solución porque no es un número entero.

9. Estructura la ecuación cuadrática y calcula

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580.

¿Cuáles son esos números?

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus
cuadrados es 580.

¿Cuáles son esos números?

1er número x

2º número x + 2

Planteamiento algebraico del ejercicio

Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 2

Forma general de la ecuación de segundo grado

simplificación de la ecuación

Resolviendo mediante la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

1er número 16

2º número 18

−18 no es solución porque no es un número natural

10. Calcular tiempo de llenado de una piscina

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres
horas menos que B.

¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B.

¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

Tiempo de A: x

Tiempo de B: x + 3

En una hora ocurre lo siguiente:

A= 1/X

B =1/(X+3)

Por ser una relación inversa

También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan media piscina

A + B= 1/2

Sustituimos:

Sustitución de los valores

Tenemos una ecuación racional, en primer lugar tenemos que quitar denominadores

Calculo del mínimo común múltiplo

Planteando la ecuación cuadrática

Soluciónes por formula general

Comprobamos que 3 es una solución:

Al cabo de una hora, ocurre que:

A=1/3

B=1/(3+3)=1/6

Al cabo de 2 horas:

$\frac{1}{(3)} \cdot 2 = \frac{2}{(3)}$

$\frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Entonces, en 2 horas la piscina se habrá llenado $\frac{2}{(3)} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

La piscina estará completamente llena al cabo de 2 horas.

Respuesta:

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

11. Encuentra los valores que se indican

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos.

Halla los valores de dichos lados.

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos.

Halla los valores de dichos lados.

Ejercicio de triangulo mediante números consecutivos

1er cateto 2x

2º cateto 2x + 2

Hipotenusa 2x + 4

Aplicamos el teorema de Pitágoras

(2x)² + (2x + 2)² = (2x + 4)²

Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 4

4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16

4x² − 8x − 12 = 0 x² − 2x − 3 = 0

x = 3 y x= −1

1er cateto 6 cm

2º cateto 8 cm

Hipotenusa 10 cm

No consideramos x= −1 porque las distancias son positivas

12. Calculo de un volumen

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha.

Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado
en cada esquina y doblando los bordes.

Halla las dimensiones de la caja.

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha.

Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado
en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

Caja para calculo de dimensiones